Interpretación geométrica del producto escalar

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

En el dibujo, $OA'$ es la proyección del vector $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$. Si nos fijamos en el triángulo $OAA'$ y aplicamos la fórmula del coseno, obtenemos:

$$\cos(\alpha)=\dfrac{OA'}{|\vec{u}|} \Rightarrow |OA'| = |\vec{u}|\cdot \cos(\alpha) $$

Finalmente, aplicando a la fórmula del producto escalar lo que hemos encontrado obtenemos: $$\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\alpha)=|\vec{u}|\text{proy}_{\vec{v}}(\vec{u})$$

Encontrar la proyección del vector $\vec{u}=(2,3)$ sobre el $\vec{v}=(-1,4)$. $$\text{proy}_{\vec{v}}(\vec{u})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}= \dfrac{2\cdot (-1)+3\cdot 4}{\sqrt{(-1)^2+4^2}}=\dfrac{10}{\sqrt{17}}$$