Definición, expresión analítica y propiedades del producto escalar
El producto escalar entre dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, que se representa como $\vec{u}\cdot\vec{v}$, es un número real que se obtiene multiplicando el módulo de $\vec{u}$ por el módulo de $\vec{v}$ y por el coseno del ángulo que forman $\vec{u}$ y $\vec{v}$. $$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$$
De la definición de producto escalar se deduce que:
- Si $\vec{u}=\vec{0}$ o $\vec{v}=\vec{0}$, entonces $\vec{u}\cdot\vec{v}= 0$.
- Si los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares entre ellos, $\cos(\widehat{uv})=\cos(90^\circ)=0$, de manera que $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
Si $\vec{u}=(0,2)$, $\vec{v}=(3,3)$ y $\widehat{uv}={45^\circ}$:
$$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(45^\circ)= 2\cdot\sqrt{18}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{36}=6$$
Si $|\vec{u}|=3$, $|\vec{v}|=2$ y además $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$. ¿Qué ángulo forman $\vec{u}$ y $\vec{v}$?
Puesto que la fórmula del producto escalar es $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$, sustituyendo los datos que nos da el enunciado, obtenemos que: $$\cos(\widehat{uv})=0 \Rightarrow \widehat{uv}=90^\circ $$
Estos dos vectores son perpendiculares.
Expresión analítica del producto escalar:
Dados $\vec{u}=(u_1,u_2)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2)$, su producto escalar se puede escribir como: $$\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1+u_2 v_2$$
Si $\vec{u}=(3,1)$ y $\vec{v}=(2,-1)$, entonces: $$\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot2+1\cdot(-1)=6-1=5$$
Propiedades del producto escalar
- El producto escalar de un vector por él mismo es un número real mayor o igual a zero: $ \vec{u}\cdot\vec{u} \geqslant 0$. Si $\vec{u}\cdot\vec{u}=0$, entonces $\vec{u}=\vec{0}$.
- El producto escalar es conmutativo: $\vec{u}\cdot\vec{v}= \vec{v}\cdot\vec{u}$. Dado que si el ángulo que forma $\vec{u}$ con $\vec{v}$ es $\alpha$, el ángulo que forma $\vec{v}$ con $\vec{u}$ es $-\alpha$, y sabemos que $\cos(-\alpha)=cos(\alpha)$.
- El producto escalar es pseudoasociativo: $\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})= (\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v})$ donde $\alpha$ es un número real.
- El producto escalar es distributivo respecto la suma de vectores: $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$.