Aplicaciones del producto escalar
- Módulo de un vector.
El producto escalar se puede usar para determinar el módulo de un vector $\vec{u}$. Ya que: $$\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}||\vec{u}|\cos(\widehat{uu})=|\vec{u}|^2$$
de donde: $\vec{u}=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}$
De manera que obtenemos, usando las coordenadas del vector $\vec{u}=(u_1,u_2)$, $$\vec{u}=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
Para $\vec{u}=(3,4)$, tenemos que hacer: $$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$
- Ángulo entre dos vectores.
De la definición del producto escalar $\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}||\vec{u}|\cos(\widehat{uu})$ podemos despejar el coseno del ángulo que forman los dos vectores: $$\cos(\widehat{uv})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$
Aplicando la función arcoseno a cada lado de la igualdad obtenemos (ang = ángulo): $$\text{ang}(\vec{u},\vec{v})=\arccos\Big(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\Big)$$
De manera que si tenemos dos vectores mediante sus coordenadas $\vec{u}=(u_1,u_2)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2)$ tenemos que:
$$\text{ang}(\vec{u},\vec{v})=\text{ang}(\vec{v},\vec{u})=\arccos\Big(\dfrac{u_1 v_1+u_2 v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}\Big)$$
Encontrar el ángulo formado por $\vec{u}=(2,3)$ y $\vec{v}=(-1,4)$. En este caso, aplicando la fórmula anterior obtenemos: $$\text{ang}(\vec{u},\vec{v})=\arccos\Big(\dfrac{2\cdot(-1)+3\cdot4} {\sqrt{2^2+3^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+4^2}}\Big)= \arccos(0.67267)= 47^\circ43'35''$$