Método de reducción

Hay que recurrir al método de reducción para ir eliminando incógnitas y simplificar las ecuaciones. Pero primero, quizá alguna se pueda simplificar antes de empezar.

La primera ecuación del primer sistema puede dividirse entre $2$ para obtener una ecuación equivalente más sencilla.

$$\dfrac{2x+4y=12}{2} \Rightarrow x+2y=6$$

Se realiza el intercambio en el sistema:

$$\left.\begin{array}{c} x+2y=6 \\ -x-5y=-39 \end{array} \right\}$$

Se observa que si se suma la primera ecuación a la segunda se consigue eliminar $x$ de ésta última: $$\begin{eqnarray} & & -x-5y=-39 \\ &+ & \underline{ \ x \ \ +2y= \ 6} \\ & & \ 0 \ \ -3y=-33 \end{eqnarray}$$

La ecuación resultante es equivalente de la segunda y permite hallar directamente $y$: $$-3y=-33 \Rightarrow y=\dfrac{-33}{-3}=11$$

Ahora, se puede obtener el valor de $x$ sustituyendo en la primera ecuación: $$x=6-2y \Rightarrow x=6-2\cdot(11) \Rightarrow x=6-22=-16$$

En este sistema, operando directamente entre ecuaciones no se consigue eliminar ninguna incógnita. Pero si se multiplica la primera ecuación por $-2$ y se suma a la segunda se consigue anular la $x$:

$$[x+2y=0]\cdot(-2) \Rightarrow -2x-4y=0$$

Esta ecuación es equivalente a la primera, así que se puede usar para operar: $$\begin{eqnarray} & & \ \ \ 2x-5y=18 \\\\ &+ & \underline{-2x-4y= \ 0} \\\\ & & \ \ \ 0 \ \ -9y=18 \end{eqnarray}$$

De la ecuación resultante se deduce que: $$-9y=18 \Rightarrow y=-\dfrac{18}{9}=-2$$ Ahora sólo queda buscar el valor de $x$ sustituyendo en la primera ecuación: $$x+2y=0 \Rightarrow x=-2y \Rightarrow x=-2\cdot(-2)=4$$