Mètode de reducció

Cal recórrer al mètode de reducció per anar eliminant incògnites i simplificar les equacions. Però primer, potser alguna es pugui simplificar abans de començar.

La primera equació del primer sistema pot dividir entre $2$ per obtenir una equació equivalent més senzilla.

$$\dfrac{2x+4y=12}{2} \Rightarrow x+2y=6$$

Es realitza l'intercanvi en el sistema:

$$\left.\begin{array}{c} x+2y=6 \\ -x-5y=-39 \end{array} \right\}$$

S'observa que si se suma la primera equació a la segona s'aconsegueix eliminar $x$ d'aquesta última: $$\begin{eqnarray} & & -x-5y=-39 \\ &+ & \underline{ \ x \ \ +2y= \ 6} \\ & & \ 0 \ \ -3y=-33 \end{eqnarray}$$

L'equació resultant és equivalent de la segona i permet trobar directament $y$: $$-3y=-33 \Rightarrow y=\dfrac{-33}{-3}=11$$

Ara, es pot obtenir el valor de $x$ substituint a la primera equació: $$x=6-2y \Rightarrow x=6-2\cdot(11) \Rightarrow x=6-22=-16$$

En aquest sistema, operant directament entre equacions no s'aconsegueix eliminar cap incògnita. Però si es multiplica la primera equació per $-2$ i se suma a la segona s'aconsegueix anular la $x$:

$$[x+2y=0]\cdot(-2) \Rightarrow -2x-4y=0$$

Aquesta equació és equivalent a la primera, així que es pot usar per operar: $$\begin{eqnarray} & & \ \ \ 2x-5y=18 \\\\ &+ & \underline{-2x-4y= \ 0} \\\\ & & \ \ \ 0 \ \ -9y=18 \end{eqnarray}$$

De l'equació resultant es dedueix que: $$-9y=18 \Rightarrow y=-\dfrac{18}{9}=-2$$ Ara només queda buscar el valor de $x$ substituint a la primera equació: $$x+2y=0 \Rightarrow x=-2y \Rightarrow x=-2\cdot(-2)=4$$