Método de reducción

Un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el llamado método de reducción, que consiste en simplificar el sistema realizando operaciones aritméticas entre las ecuaciones.

$$\left.\begin{array}{c} x+y=2 \\ -x+y=-4 \end{array} \right\}$$ Si a la segunda ecuación se le suma la primera se anula la $x$, con lo que enseguida podemos conocer el valor de $y$. Se podría expresar la operación de la siguiente forma: $$\begin{eqnarray} & & -x+y=-4 \\ &+ & \underline{ \ x \ \ +y= \ 2} \\ & & \ 0 \ \ +2y=2 \end{eqnarray}$$ La ecuación resultante es equivalente a la segunda, por lo que puede intercambiarse en el sistema inicial: $$\left.\begin{array}{c} x+y=2 \\ 2y=-2 \end{array} \right\}$$ De esta nueva segunda ecuación se deduce inmediatamente que: $$2y=-2 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{2}=-1$$ Con una de las incógnitas resueltas ya sólo hay que sustituir su valor en la primera ecuación para conocer $x$: $$x+y=2 \Rightarrow x-1=2 \Rightarrow x=2+1=3$$ De modo que la solución al sistema es $x=3, y=-1$.

Para comprobar que los cálculos son correctos se pueden sustituir los valores en cada una de las ecuaciones y ver que, efectivamente, se cumplen las igualdades.

A veces será necesario multiplicar o dividir toda una ecuación por un determinado número para conseguir anular una de las incógnitas de una ecuación.

$$\left.\begin{array}{c} \dfrac{x}{2}+4y=\dfrac{3}{2} \\ -x-y=-4 \end{array} \right\}$$ Se podría multiplicar la segunda ecuación por $4$ y sumarla a la primera, con lo que se conseguiría eliminar $y$, o dividir la primera ecuación entre $2$ para luego sumarla a la segunda. Mejor esta última opción, puesto que se eliminan los denominadores:

$$\Big[\dfrac{x}{2}+4y=\dfrac{3}{2}\Big]\cdot2 \Rightarrow x+8y=3$$

La ecuación resultante es equivalente a la primera, así que se pueden intercambiar en el sistema: $$\left.\begin{array}{c} x+8y=3 \\ -x-y=-4 \end{array} \right\}$$ La suma de ambas ecuaciones permite conocer el valor de y directamente: $$\begin{eqnarray} & & \ x \ +8y=3 \\ &+ & \underline{-x -y= -4} \\ & & \ 0 \ \ +7y=-1 \end{eqnarray} \Rightarrow y=-\dfrac{1}{7}$$ Ahora se puede sustituir este valor en la primera ecuación para hallar el de $x$: $$x=3-8y \Rightarrow x=3-8\cdot(-\dfrac{1}{7}) \Rightarrow x=\dfrac{21+8}{7}=\dfrac{29}{7}$$ Luego, la solución al sistema es $x=\dfrac{29}{7}, y=-\dfrac{1}{7}$.

Recordatorio:

El método de reducción o de eliminación consiste en realizar operaciones aritméticas entre ecuaciones para conseguir ecuaciones equivalentes con menos incógnitas, más fáciles de despejar y calcular. Cabe recordar que si se suman, restan, multiplican o dividen todos los términos de una ecuación con un mismo número (distinto de 0) se obtiene una ecuación equivalente.