Crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos de una función

Crecimiento y decrecimiento

Las funciones pueden ser crecientes o decrecientes a lo largo de su dominio o en un cierto intervalo.

Decimos que una función $f(x)$ es creciente en el intervalo $[a,b]$ si dados dos puntos de $[a,b]$, $x_1$ y $x_2$ tal que $x_1 < x_2$ entonces $f(x_1) \leqslant f(x_2)$.

Decimos que una función $f(x)$ es decreciente en intervalo $[a,b]$ ssi dados dos puntos de $[a,b]$, $x_1$ y $x_2$ tal que $x_1 < x_2$ entonces $f(x_1) \geqslant f(x_2)$.

Las funciones que nunca decrecen, siempre aumentan su valor o se mantienen (las funciones crecientes).

Análogamente, las funciones decrecientes nunca crecen, siempre disminuyen su valor o se mantienen cuando $x$ se hace grande.

Por otra parte, podemos definir funciones estrictamente crecientes o decrecientes: éstas nunca se mantendrán en un mismo valor: o aumentan o disminuyen.

Decimos que una función $f(x)$ es estrictamente creciente en el intervalo $[a,b]$ si dados dos puntos de $[a,b]$, $x_1$ y $x_2$ tal que $x_1 < x_2$ entonces $f(x_1) < f(x_2)$.

Decimos que una función $f(x)$ es estrictamente decreciente en el intervalo $[a,b]$ si dados dos puntos de $[a,b]$, $x_1$ y $x_2$ tal que $x_1 < x_2$ entonces $f(x_1) > f(x_2)$.

A continuación podemos ver unos ejemplos:

Todas las funciones del tipo $f(x)=ax+b$ cuando $a>0$ son funciones crecientes, y en particular, son funciones estrictamente crecientes. No obstante, cuando tomemos $a < 0$ obtendremos funciones estrictamente decrecientes (y por consiguiente decrecientes).

La función $f(x)=x^2$ es una función decreciente en el intervalo $(-\infty,0]$ y creciente en $[0,+\infty)$.

Las funciones constantes son funciones que a la vez son crecientes y decrecientes (se mantienen constantes).

Máximos y mínimos

Cuando representamos una función podemos ver que a veces aparecen puntos que son máximos o mínimos relativos o globales.

Como podemos ver en el siguiente ejemplo, podemos observar que en $x=0$ la función $f(x)=x^2$ tiene un mínimo:

Definamos pues correctamente el concepto de mínimo y máximo relativo y global:

• Un punto $x_0$ se denomina máximo global si para todo punto $x$ del dominio, la función comple $f(x)\leqslant f(x_0)$.
• Un punto $x_0$ se denomina mínimo global si para todo punto $x$ del dominio, la función comple $f(x)\geqslant f(x_0)$.
• Un punto $x_0$ se denomina máximo relativo si para todo punto $x$ de un entorno de $x_0$ $\ [x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]$ (donde $\varepsilon$ es un valor pequeño), la función comple $f(x)\leqslant f(x_0)$.
• Un punto $x_0$ se denomina mínimo relativo si para todo punto $x$ de un entorno de $x_0$ $\ [x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]$ (donde $\varepsilon$ es un valor pequeño), la función comple $f(x)\geqslant f(x_0)$.

Para entender mejor cada concepto veamos un ejemplo de cada:

La función $f(x)=x^2$ presenta un mínimo global en el punto $x=0$ (ver ejemplo previo a las definiciones).

La función $f(x)=-(x-1)^2$ presenta un màximo global en el punto $x=1$:

La función $f(x)=x^3-3x$ presenta un màximo relativo en $x=-1$ y un mínimo relativo en $x=1$:

La función $f(x)=x^4-x^3-2x^2$ presenta un mínimo global en el intervalo $[-2, -1]$, tiene un máximo relativo en $x=0$ y un mínimo relativo en el intervalo $(0,1)$:

Localización de màximos y mínimos

Vamos a ver cómo encontrar máximos y minimos relativos.

Para ello consideramos una función $f(x)$ c contínua en un dominio abierto y derivable en éste.

Si nos fijamos en las gráficas anteriores, los puntos máximos y mínimos relativos tienen como recta tangente una recta de pendiente cero. Esta será la clave para encontrar máximos y mínimos.

El procedimiento será derivar la función $f(x)$ y igualarla a cero. Resolviendo la ecuación que aparece encontraremos los puntos $x$ que serán máximos o mínimos en nuestra función.

El siguiente paso será saber si son máximos o mínimos. Esto se puede deducir del valor que alcance la segunda derivada de la función en el punto en cuestión: si es positivo, será mínimo, y si es negativo, será máximo.

Para entender bien el proceso, veamos un ejemplo.

Tomemos la función $f(x)=x^3-3x$.

Empezaremos derivando la función y igualandola a cero. Resolveremos la ecuación y nos quedaremos con los puntos solución. $$f'(x)=3x^2-3 \Rightarrow 3x^2-3=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$$

Ahora sabemos que en los puntos $1$ y $-1$ tenemos máximos o mínimos. Vamos a ver qué son usando la segunda derivada: $f''(x)=6x$:

$$f''(1)=6 > 0$$

$$f''(-1)=-6 < 0$$

y por lo tanto, en $x =- 1$ tenemos máximo y en $x = 1$ tenemos un mínimo.

Veamos el gráfico para ver claramente el ejemplo: