Sucesos dependientes e independientes

Sucesos dependientes e independientes

Decimos que los sucesos $A$ y $B$ son independientes si $P(A/B)=P(A)$, o de forma equivalente, si sustituimos en la fórmula anterior, si $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

Si esto NO ocurre, entonces los sucesos $A$ y $B$ son dependientes.

Por ejemplo, si queremos calcular la probabilidad de que al tirar un dado salga un $6$, sabemos por la regla de Laplace, que la probabilidad es de $\dfrac{1}{6}$. Sin embargo, si disponemos de la información de que el resultado ha sido un número par, entonces tan sólo hay tres posibilidades: $2, 4$ y $6$, por lo que la probabilidad pasa a ser más alta, de $\dfrac{1}{3}$.

Consideremos los sucesos $A=$"sacar un $6$", $B=$"sacar un número par".

Hemos razonado que es lógico que si sabemos que ha salido par, entonces la probabilidad de que haya salido un seis es superior a la que sería si no dispusiéramos de esta información.

Comprobémoslo:

Sabemos que $P(B) = \dfrac{1}{2}$, por la regla de Laplace, y

$$P(A\cap B)=\mbox{"probabilidad de sacar un }6 \mbox{ y sacar un número par"}=$$ $$=\mbox{"probabilidad de sacar un }6"=\dfrac{1}{6}$$

$$P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{3}$$

En particular, hemos comprobado que nuestros sucesos $A$ y $B$ son dependientes, ya que $P(A/B)$ es diferente de $P(A)$.

Haciendo una encuesta telefónica, hemos preguntado a $1000$ personas si creían necesario que hubiera más iluminación en la calle por la noche.

Nos han respondido $480$ hombres, de los cuales $324$ han respondido que sí, y $156$ que no, y $520$ mujeres, de las cuales $351$ han respondido que sí, y $169$ que no. Nos preguntamos si hombres y mujeres tienen una opinión diferente, o bien si es irrelevante para la cuestión.

Para ver más claramente lo que nos dicen, lo mejor es colocar los datos en una tabla:

	Sí	No
Hombres	324	156
Mujeres	351	169

Consideremos los sucesos $A =$"querer más luz (haber respondido sí)", $B =$"que haya respondido un hombre".

Nos preguntamos si $A$ y $B$ son independientes, es decir, si el hecho de querer más luz depende de si se es hombre o mujer.

Calculemos las probabilidades:

$$P(A)=\dfrac{324+351}{1000}=\dfrac{675}{1000}$$ por la regla de Laplace (son todos los que han respondido que sí, sumando hombres y mujeres).

$$P(B)=\dfrac{480}{1000}$$ los hombres que nos han respondido entre el total de llamadas.

$$P(A\cap B)=\dfrac{324}{1000}$$ los que son hombres y han respondido que sí.

Se cumple que $$\dfrac{324}{1000}=\dfrac{675}{1000}\cdot \dfrac{480}{1000}$$ es decir que $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$ por lo que los sucesos son independientes. En otras palabras, el hecho de ser hombre o mujer no ha influido para saber si quieren o no más luz.