Sucesos compatibles e incompatibles

Empecemos con el experimento siguiente: tiramos un dado de seis caras y vemos qué resultado sale. Consideremos los siguientes sucesos $A = \{ 2, 3 \}$, $B = \{ 1 , 2 \}$, $C = \{ 5 \}$.

Observamos que si sacamos un $2$, entonces se cumple tanto $A$ como $B$. Decimos que los sucesos son compatibles, esto quiere decir, que se pueden verificar simultáneamente. Por el contrario, los sucesos $B$ y $C$ son incompatibles, puesto que no se pueden dar los dos a la vez.

Para ver fácilmente cuándo dos sucesos son compatibles o no, podemos observar que $A$ y $B$ tienen un elemento común: el $2$, por lo que serán compatibles. Por el contrario, $A$ y $C$ no tienen ningún elemento en común, y por lo tanto son incompatibles.

Esto lo expresamos diciendo que dos sucesos $A$ y $B$ son incompatibles si: $$A \cap B = \emptyset$$

y al contrario, que son compatibles si:

$$A \cap B \neq \emptyset$$

Si tenemos tres o más sucesos, decimos que son incompatibles dos a dos si cualquier pareja de sucesos es incompatible (análogamente, son compatibles dos a dos si cualquier pareja de sucesos es compatible). En nuestro caso, $A, B$ y $C$ no son incompatibles dos a dos, puesto que, aunque $A$ y $C$, $B$ y $C$ son incompatibles, $A$ y $B$ son compatibles.

¿Cómo se relaciona esto con los sucesos complementarios?

En nuestro experimento de tirar un dado, si tenemos nuestro suceso $A = \{ 2, 3 \}$, analicemos qué pasa con su complementario.

En este caso, $\overline{A}=\{1,4,5,6\}$, ya que son todos los sucesos elementales que no cumplen $A$.

Resulta pues que $A$ y $\overline{A}$ son incompatibles, puesto que no se pueden verificar a la vez. Y es que para cualquier suceso $A$ calculamos su complementario haciendo $\overline{A}=\Omega - A$, por lo que $A \cap \overline{A}=\emptyset$, es decir, dos sucesos complementarios siempre serán incompatibles.

Supongamos ahora que $D=$"sacar un número par"$=\{ 2, 4, 6 \}$. Su complementario es $\overline{D}=$"sacar un número impar"$=\{ 1, 3, 5 \}$. Entonces, $D\cup \overline{D} = $"sacar un número par o impar"$= \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} = \Omega$, es decir, es un suceso seguro.

Por cómo definimos un suceso complementario, esto siempre ocurrirá, ya que se cumple siempre uno de los dos, y como son incompatibles, o se cumple uno o se cumple el otro.