Simplificación y amplificación de fracciones algebraicas
Dadas las fracciones $\dfrac{x+3}{x-1}$ y $\dfrac{x-3}{x+1}$, realizar una expansión de tal manera que los denominadores tengan como raíz $x=-2$ y $x=4$, respectivamente.
Para que el denominador tenga como raíz $x=-2$, basta multiplicar la fracción algebraica por la expresión $x+2$ tanto en el numerador como en el denominador:
$$\dfrac{x+3}{x-1}\cdot\dfrac{x+2}{x+2}=\dfrac{(x+3)\cdot(x+2)}{(x-1)\cdot(x+2)}=\dfrac{x\cdot(x+2)+3\cdot(x+2)}{x\cdot(x+2)-1\cdot(x+2)}=\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+x+4}$$
Para que el denominador tenga como raíz $x=4$, basta multiplicar la fracción algebraica por la expresión $x-4$ tanto en el numerador como en el denominador:
$$\dfrac{x-3}{x+1}\cdot\dfrac{x-4}{x-4}=\dfrac{(x-3)\cdot(x-4)}{(x+1)\cdot(x-4)}=\dfrac{x\cdot(x-4)-3\cdot(x-4)}{x\cdot(x-4)+1\cdot(x-4)}=\dfrac{x^2-7x+12}{x^2-3x-4}$$
$$\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+x+4}$$
$$\dfrac{x^2-7x+12}{x^2-3x-4}$$