Simplificación y amplificación de fracciones algebraicas

Simplificación de fracciones algebraicas

Dada una fracción algebraica, si el numerador y el denominador tienen algún factor en común, éste se puede simplificar. El resultado puede ser una fracción algebraica equivalente, o un polinomio.

Simplificar la siguiente fracción algebraica y concluir si es un polinomio o una fracción algebraica. $$\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1}$$ Factorizamos el numerador y el denominador:

$$x^2-1=(x+1)\cdot(x-1)$$

$$x^2-2x+1=(x-1)^2$$

Vemos que el numerador y el denominador tienen un factor común, por lo tanto:

$$\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}=\dfrac{x+1}{x-1}$$ Y el resultado es una fracción algebraica.

Simplificar la siguiente fracción algebraica y concluir si es un polinomio o una fracción algebraica. $$\dfrac{x^2-4x+4}{x-2}$$ Factorizamos el numerador y el denominador:

$$x^2-4x+4=(x-2)^2$$

$$x-2$$

Vemos que el numerador y el denominador tienen un factor común, por lo tanto:

$$\dfrac{x^2-4x+4}{x-2}=\dfrac{(x-2)^2}{x-2}=x-2$$ Y el resultado es un polinomio.

Amplificación de fracciones algebraicas

Como en una fracción, siempre podemos multiplicar el numerador y el denominador por un polinomio cualquiera. Esta estrategia se llama amplificación o expansión y puede ser útil en algunas ocasiones.

Expandir la siguiente fracción algebraica $\dfrac{x-1}{x+2}$ del tal manera que tenga un polinomio con raíz $x=-1$ en el denominador.

Basta multiplicar la fracción algebraica por la expresión $x+1$ tanto en el numerador como en el denominador: $$\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{x-1}{x+2}\cdot\dfrac{x+1}{x+1}$$ Ahora si se desea se pueden expandir los polinomios: $$\dfrac{x-1}{x+2}\cdot\dfrac{x+1}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+1)}=\dfrac{x^2-1}{x\cdot(x+1)+2\cdot(x+1)}=$$

$$=\dfrac{x^2-1}{x^2+3x+2}$$ El resultado es una fracción algebraica equivalente a la inicial.

Expandir la siguiente fracción algebraica $\dfrac{x+2}{x-2}$ del tal manera que tenga un polinomio con raíz $x=3$ en el denominador.

Basta multiplicar la fracción algebraica por la expresión $x-3$ tanto en el numerador como en el denominador: $$\dfrac{x+2}{x-2}=\dfrac{x+2}{x-2}\cdot\dfrac{x-3}{x-3}$$ Ahora si se desea se pueden expandir los polinomios: $$\dfrac{x+2}{x-2}\cdot\dfrac{x-3}{x-3}=\dfrac{(x+2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{x\cdot(x-3)+2\cdot(x-3) }{x\cdot(x-3)-2\cdot(x-3)}=$$

$$=\dfrac{x^2-x-6}{x^2-5x+6}$$ El resultado es una fracción algebraica equivalente a la inicial.