Ordenación de los números reales

Ordenación de los números reales

En el conjunto $\mathbb{R}$ tenemos definida una relación de orden que denotamos $ < $ intuitivamente, si $a$ y $b$ son dos números reales, escribiremos $a < b$ si al dibujarlos sobre la recta real, el punto $a$ queda a la izquierda del punto $b$. Diremos entonces que $a$ es más pequeño que $b$.

Se suele utilizar $a\leq b$ para indicar que el número $a$ es más pequeño o igual a $b$. También se dice que $\leq$ es símbolo de desigualdad y que $ < $ lo es de desigualdad estricta.

Se dice que esta relación es de orden total $\mathbb{R}$: es decir, dados dos números reales distintos $a$ y $b$, siempre se tiene $a < b$ o bien $b < a$. O dicho de otra forma, $a$ y $b$ son siempre comparables.

Dados los números $\dfrac{7}{4}$ y $\dfrac{11}{6}$, si calculamos sus fracciones equivalentes con denominador común (que será el mínimo común múltiple entre los dos denominadores), tenemos que: $$mcm(4,6)=mcm(2^2, 2\cdot3)=2^2\cdot3=12$$ Y por lo tanto, nos queda: $$\dfrac{7}{4}=\dfrac{7}{4}\cdot\dfrac{3}{3}=\dfrac{21}{12}$$ $$\dfrac{11}{6}=\dfrac{11}{6}\cdot\dfrac{2}{2}=\dfrac{22}{12}$$

por lo tanto, al ser $21 < 22$, nos queda que

$$\dfrac{21}{12} < \dfrac{22}{12} \Rightarrow \dfrac{7}{4} < \dfrac{11}{6}$$

Propiedades de la ordenación

Las operaciones con números reales y la ordenación de estos están relacionados por las siguientes propiedades:

• Monotonía de la suma: una desigualdad no se altera al sumar la misma cantidad en ambos miembros, es decir, si $$a < b$$ entonces para cualquier número real $c$, se cumple que: $$a+c < b+c$$ También vale si la desigualdad no es estricta: $a\leq b \Rightarrow a+c \leq b+c.$

• Monotonía del producto por un número positivo: una desigualdad no se altera si multiplicamos a los dos miembros por un mismo número positivo, es decir, si $a < b$ y $c$ es un número real positivo $(c > 0) $, se cumple: $$a\cdot c < b\cdot c$$ También vale si la desigualdad no es estricta: $a\leq b$ y $c\geq 0 \Rightarrow a\cdot c \leq b\cdot c.$

• Antimonotonía del producto por números negativos: toda desigualdad se altera si multiplicamos a los dos miembros por un mismo número negativo, es decir, si $a < b$ y $c$ es un número real negativo $(c < 0)$, se cumple: $$a\cdot c > b\cdot c$$ También vale si la desigualdad no es estricta: $a\leq b$ y $c\leq 0 \Rightarrow a\cdot c \geq b\cdot c.$

En la desigualdad $$-3 < 5$$ si sumamos $-6$ en ambos miembros obtenemos:

$-3+(-6)=-9$ y $5+(-6)=-1$, y se verifica que

$$-9 < -1.$$

Si multiplicamos la desigualdad por $3$, tenemos:

$-3\cdot 3= -9$ y $5\cdot3=15$, y se verifica que

$$-9 < 15$$

Finalmente si multiplicamos la desigualdad por $-\dfrac{1}{2}$, tenemos:

$-3\cdot \Big(-\dfrac{1}{2}\Big)= \dfrac{3}{2} $ y $5\cdot\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)=-\dfrac{5}{2}$, y se verifica que

$$\dfrac{3}{2} > -\dfrac{5}{2}$$