Intervalos en los números reales

Intervalos acotados

Llamaremos intervalo al conjunto de números comprendido entre dos límites dados.

Si $a$ y $b$ son dos números reales tales que $a\leq b$, el intervalo de extremos $a$ y $b$ es el segmento $\overline{ab}$, o también el conjunto de números comprendido entre $a$ y $b$.

Si consideramos que los extremos $a$ y $b$ pertenecen al intervalo, diremos que es un intervalo cerrado y lo denotaremos por $[a,b]$.

Si $x$ es un número real que pertenece a $[a,b]$, el punto que representa sobre la recta queda a la derecha de $a$ y a la izquierda de $b$; esto significa que $a < x < b$, y como que $a$ y $b$ también son del intervalo, puede ser que $x=a$ o $x=b$, con lo que un número real $x$ pertenece al intervalo cerrado $[a,b]$ si $a \leq x \leq b$. Esta definición algebraica la escribiremos así: $$[a,b]=\{x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b\}$$

Si los extremos no pertenecen al intervalo, lo llamamos intervalo abierto y lo denotaremos por $(a,b)$. Si $x$ es un número real que pertenece a $(a,b)$, es necesariamente $a < x < b$, y lo escribimos en lenguage algebraico como: $$(a,b)=\{x \in \mathbb{R} | a < x < b\}$$

Si solamente uno de los extremos pertenece al intervalo decimos que es un intervalo semiabierto y lo denotaremos por $(a,b]$ o bien $[a,b)$, dependiendo de que extremo pertenezca al intervalo:

$$(a,b]=\{x \in \mathbb{R} | a < x \leq b\}$$ $$[a,b)=\{x \in \mathbb{R} | a \leq x < b\}$$

En cualquier tipo de intervalo, $a$ es el extremo inferior, y $b$ el extremo superior. Y $|b-a|$ es la longitud del intervalo.

Llamaremos centro del intervalo a un punto $c$ que se encuentra a misma distancia de $a$ que de $b$. A la distancia entre el centro del intervalo y los extremos se denomina radio.

El centro de un intervalo de extremos $a$ y $b$ es el punto $\dfrac{a+b}{2}$; en efecto:

$$d\Big(a,\dfrac{a+b}{2}\Big)=\Big|\dfrac{a+b}{2}-a\Big|=\Big|\dfrac{a+b-2a}{2}\Big|=\dfrac{b-a}{2}$$

$$d\Big(\dfrac{a+b}{2},b\Big)=\Big|b-\dfrac{a+b}{2}\Big|=\Big|\dfrac{2b-a-b}{2}\Big|=\dfrac{b-a}{2}$$

Por otra parte, los puntos de un intervalo de extremos $a$ y $b$ se pueden definir en términos de la distancia al centro del intervalo.

Si $x\in [a,b]$, la distancia de $x$ al centro es menos o igual al radio del intervalo, y como que $d(x,C)=|C-x|$, tenemos que: $$[a,b]=\{x \in \mathbb{R} \ | \ |C-x|\leq r \}$$ donde $r$ representa el radio del intervalo $(r=d(a,b))$, y análogamente para intervalos abiertos: $$(a,b)=\{x \in \mathbb{R} \ | \ |C-x| < r \}$$

Para determinar los extremos de un intervalo dados el centro y el radio, aplicamos las propiedades del valor absoluto:

$$|C-x| < r \Rightarrow |x-C| < r \Rightarrow$$ $$-r < x-C < r \Rightarrow -r+C < x < r+C$$

Por lo que los extremos de un intervalo de centro $C$ y radio $r$ son $C-r$ y $C+r$.

La longitud de un intervalo es igual a la distancia entre sus dos extremos: $$long([a,b])=d(a,b)$$ Y al depender de los extremos, la longitud es la misma si el intervalo es abierto o cerrado: $$long((a,b))=long([a,b])=long((a,b])=long([a,b))$$

Observemos que la longitud de un intervalo depende de la distancia utilizada al calcularla, así que, siguiendo con la notación anterior, si se utiliza una distancia p-ádica para calcular la longitud de un intervalo, lo denotaremos por: $$long_p((a,b))=d_p(a,b)$$

El intervalo $\Big[\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5}\Big]$ es un intervalo cerrado acotado con extremo inferior $\dfrac{1}{3}$ y superior $\dfrac{2}{5}$.

El centro del intervalo es un punto $C$: $$C=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}}{2}=\dfrac{5+6}{15\cdot 2}=\dfrac{11}{30}.$$

Y el radio es: $$d(a,C)=\Big|\dfrac{11}{30}-\dfrac{1}{3}\Big|=\Big|\dfrac{11}{30}-\dfrac{10}{30}\Big|=\dfrac{1}{30}.$$

La longitud de dicho intervalo es: $$long\Big(\Big[\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5}\Big]\Big)=d\Big(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5}\Big)=\Big|\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{5}\Big|=\Big|\dfrac{5-6}{15}\Big|=\dfrac{1}{15}$$

Intervalos no acotados

Si consideramos un intervalo que no tenga extremo inferior o bien, extremo superior, obtenemos un conjunto de la forma: $$\{x\in \mathbb{R} \ | \ x \leq b\}, \ \mbox{o} \ \{x\in \mathbb{R} \ | \ a \leq x\} $$

Gráficamente, estos conjuntos se representa como todos aquellos que se encuentran a la izquierda de $b$, o a la derecha de $a$, respectivamente.

A estos conjuntos los llamamos intervalos no acotados y para denotarlos utilizamos el símbolo infinito $\infty$ como extremo. Aunque $\infty$ no es un número, utilizaremos $-\infty$ para denotar que es menor que cualquier número y $+\infty$ para denotar que es mayor que cualquier número, de tal forma que un intervalo no acotado inferiormente se denota por:

$$(-\infty,a)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ x < a\}$$

si es abierto, y si es cerrado:

$$(-\infty,a]=\{x\in\mathbb{R} \ | \ x \leq a\}$$

Si el intervalo no tiene extremo superior, lo llamamos no acotado superiormente, y se escribe:

$$(a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ a < x\}$$

si es abierto, y

$$[a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ a \leq x\}$$

si es cerrado.

$$[5, +\infty)=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 5 \leq x\}$$

$$\Big(-\infty,\dfrac{\sqrt{2}}{3}\Big)=\Big\{ x \in \mathbb{R} \ \Big| \ \dfrac{\sqrt{2}}{3} < a \Big\}$$