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Interpolación de Hermite
De una función sabemos que: $f (0) = 3$, $f'(0) = 1$, $f(1) = 2$ y $f'(1)=-2$. Calculad el polinomio de Hermite que interpola estos puntos.
En este caso tenemos $n+1=2$ puntos, por lo tanto el grado del polinomio de Hermite será $2n+1 = 3$. Procedemos tal y como hemos explicado, escribimos en una tabla los puntos repitiendo aquellos de los que conocemos la derivada:
| $0$ | $3$ | |||
| ${f'}_0=1$ | ||||
| $0$ | $3$ | $\dfrac{-1-1}{1-0}=-2$ | ||
| $\dfrac{2-3}{1}=-1$ | $\dfrac{-1+2}{1-0}=1$ | |||
| $1$ | $2$ | $\dfrac{-2+1}{1-0}=-1$ | ||
| ${f'}_1=-2$ | ||||
| $1$ | $2$ |
Así, el polinomio se escribe de la misma forma, tomando el primer elemento de cada columna (empezando por la segunda).
$$\begin{array}{rl} P_3(x)=& 3+1(x-0)-2(x-0)^2+1(x-0)^2(x-1)\\ =& 3+x-2x^2+x^3-x^2= x^3-3x^2+x+3 \end{array}$$
$$P_3(x)= x^3-3x^2+x+3 $$