Interpolación de Hermite

El polinomio de Hermite es aquel que interpola una colección de puntos y el valor de sus derivadas en los puntos que deseamos. Es decir, supongamos que tenemos $(x_k,f_k)$ y $(x_k,f'_k)$.

Entonces construimos la misma tabla que en el método de Newton, poniendo en la primera columna los $x_k$, escribiendo dos veces el mismo punto si conocemos el valor de la derivada en ese punto, y en la segunda columna los valores de $f$ correspondiente al $x$ e la misma fila. Es decir, si conocemos el valor de $f$ en $x_0$ y el de su derivada también, escribiremos dos veces $x_0$ y al lado de cada uno $f_0$. Por ejemplo,

A partir de aquí procedemos de la misma forma, pero con la diferencia que tenemos que definir $f[x_i,x_i]=f'_i$, el valor de la derivada en $x_i$.

Por lo tanto, si disponemos de $n +1$ valores de la función y $n +1$ valores de las derivadas, el polinomio de Hermite tendrá grado $2n +1$.

Consideremos un ejemplo:

Supongamos que queremos calcular $f\Big(\dfrac{1}{8}\Big)$ donde $f(x)=\tan(\pi x)$ a partir de interpolación de Hermite en $0,\dfrac{1}{4}$.

Para conseguirlo, escribimos una tabla como en interpolación de Newton pero repitiendo cada dato del que conozcamos su derivada. Es decir:

Procediendo de la misma forma que en interpolación de Newton, obtenemos: $$ P_3(x)= \pi x +(16-4\pi)x^2+ (48\pi-128)x^2\Big( x-\dfrac{1}{4}\Big)$$

Ahora, $$\tan\Big(\dfrac{\pi}{8}\Big)\approx P_3\Big(\dfrac{1}{8}\Big)=0.4018\dots$$