Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas, $r$ y $s$, es la mínima distancia entre un punto cualquiera de $r$ y un punto cualquiera de $s$.

• Si las rectas son secantes o coincidentes, su distancia es, evidentemente, cero. Es decir, $d (r, s) = 0$.
• Si las rectas son paralelas, la distancia entre $r$ y $s$ es la distancia de un punto de cualquiera de las dos rectas a la otra.

Para encontrar la expresión analítica de la distancia de $r$ a $s$, supondremos que tenemos $r: Ax + By + C = 0$ y $s: Ax + By + C' = 0$. Como las rectas han de tener vectores directores paralelos, en particular podemos suponer que tienen el mismo y por eso $A = A'$ y $B = B'$.

Como las rectas no pueden ser coincidentes evidentemente tendremos $C\neq C'$.

Sea ahora $P =(p_1,p_2)$ un punto perteneciente a la recta $r$. Entonces tenemos: $$\displaystyle d(r,s)=d(P,s)=\frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C'|}{\sqrt{A^2+b^2}}$$ Pero como $P$ pertenece a la recta $r$ se tiene $$A\cdot a_1+B\cdot a_2+C=0 \Leftarrow A\cdot a_1+B\cdot a_2=-C$$ sustituyendo, $$d(r,s)=d(P,S)=\displaystyle \frac{|C'-C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Calculad la distancia entre las rectas $r: 2x + 3y - 4 = 0$ y $s:-4x - 6y + 24 = 0$.

De entrada dividimos la ecuación de la recta $s$ por $-2$: $$s: 2x + 3y - 12 = 0$$ Ahora estamos en condiciones de aplicar la fórmula: $$\displaystyle d (r, s) = d (P, s) =\frac{|C'-C|}{\sqrt{A^2+b^2}}=\frac{|-4-(-12)|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{8}{\sqrt{13}}$$