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Funciones definidas a trozos
Indica el dominio y la imagen de la siguiente función:
$$f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -1 & \mbox{ si } & x<-1 \\ 2x+1 & \mbox{ si } & -1\leq x < 2 \\ 2 & \mbox{ si } & x\geq 3\end{array}\right.$$
El dominio de la primera función lo podemos encontrar a partir de los intervalos de definición:
$$Dom (f) = (-\infty,-1)\cup[-1,2)\cup[3,+\infty)=(-\infty,2)\cup[3,+\infty)$$
Para determinar la imagen nos podemos fijar en las imágenes de las distintas funciones que componen la función, teniendo en cuenta en que dominio están definidas.
Para $x < -1$ o $x > 3$ no tenemos problemas ya que sabemos cuánto vale la función en cada intervalo.
Para la recta que hay entre $-1$ y $2$, calculamos cuánto vale en dichos puntos:
$2x+1$ en $x =-1$ vale $-1$
$2x +1$ en $x = 2$ vale $5$
Por tanto $Im (f) = [-1, 5)$.
Hay que tener en cuenta que incluiremos los puntos extremos en la imagen según si en el intervalo de definición se incluyen o no.
$Dom(f)=(-\infty,2)\cup[3,+\infty)$, $Im (f) = [-1, 5)$