Funciones definidas a trozos
Una función definida a trozos es una función cuya expresión analítica no es única sino que depende del valor de la variable independiente.
Así la función definida por $$f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -x-1 & \mbox{ si } & x \leq -3 \\ 3 & \mbox{ si } & -1 < x < 1 \\ x-2 & \mbox{ si } & x\geq 1 \end{array}\right.=\left\{\begin{array}{rcl} -x-1 & \mbox{ si } & x\in (-\infty,3] \\ 3 & \mbox{ si } & x\in (-1,1)\\ x-2 & \mbox{ si } & x\in [1, +\infty]\end{array}\right.$$ es una función definida a trozos.
Para calcular la imagen de un elemento $x$ observamos a qué intervalo pertenece y lo sustituimos en la expresión analítica correspondiente a este intervalo.
En el caso anterior por ejemplo,
- si $x=-4$, sustituimos en $f(x)=-x-1$ y obtenemos $f(-4)=3$
- si $x=-2$, la imagen no está definida ya que $-2$ no pertenece a ningún intervalo de definición de la función.
- si $x=0.5$, sustituimos en $f(x)=3$ obteniendo $f(0.5)=3$
- si $x=1$ sustituimos en $f(X)=x-2$ obteniendo $f(1)=-1$
Como las expresiones que definen cada uno de los trozos tienen como dominio al menos el propio trozo, el dominio de la función $f(x)$ está formado por la unión de los intervalos de definición de la función. $$Dom(f)=(-\infty,-3] \cup (-1,1)\cup [1,+\infty)=(-\infty,-3]\cup (-1,+ \infty)$$ Si nos fijamos ahora en el gráfico de la función anterior que presentamos a continuación, podemos observar que $Im (f)=[-1,+\infty)$:
Veamos unos ejemplos de funciones definidas a trozos:
Consideramos la función $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} 1 & \mbox{ si } & x\leq 2 \\ 2 & \mbox{ si } & x > 2\end{array}\right.$.
Su gráfica es la unión de las gráficas de las funciones $f(x)=1$ para $x \leq 2$ y $f(x)=2$ para $x>2$.
La representación gráfica sería:
Consideramos la función $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -x & \mbox{ si } & x\leq -1 \\ x^2 & \mbox{ si } & -1 < x < 1 \\ x & \mbox{ si } & x \geq 1 \end{array}\right.$
Esta vez su gráfica será la unión de una recta, una parábola y otra recta, definidas cada una donde indica la función.
$$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} 2x-1 & \mbox{ si } & x < 1 \\ x+3 & \mbox{ si } & x > 1 \end{array}\right.$$
y si queremos evaluar en $x=-1$ obtendremos: $f(-1)=f_1(-1)=2(-1)=2(-1)-1=-2-1=-3$
$$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x-1 & \mbox{ si } & x<-3 \\ x^2+1 & \mbox{ si } & -3\leq < 0 \\ 3 & \mbox{ si } &0 \leq x \leq 100 \\ \ln(x+e^x) & \mbox{ si } x>100 \end{array}\right.$$
y si queremos evaluar en $x=-1$ obtendremos: $f(-1)=f_2(-1)=(-1)^2+1=1+1=2$
El siguiente ejemplo no sería una función definida a trozos ya que los conjuntos de definición de las subfunciones no son disjuntos: $$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x & \mbox{ si } & x < 0 \\ x+1 & \mbox{ si } & -1 < x < 2 \\ -3 & \mbox{ si } x\geq 2 \end{array}\right.$$
ya que para puntos en $(-1,0)$ se tendría que evaluar la función en $f_1(x)=x$ y en $f_2(x)=x+1$, y como obentdríamos dos valores para un solo punto, ésto no cumpliría la definición de función.