Relaciones trigonométricas para un mismo ángulo

Conocida cierta razón trigonométrica de un ángulo, se puede calcular fácilmente el resto vía las siguientes relaciones:

1. $\sin^2 \alpha +\cos ^2 \alpha =1$
2. $\displaystyle 1+\tan^2 \alpha=\frac{1}{\cos ^2\alpha}= \sec^2 \alpha$

De este modo si, por ejemplo, queremos conocer las razones trigonométricas de un ángulo $\alpha$, sólo nos hace falta conocer una de ellas y el cuadrante donde pertenece el ángulo.

Supongamos tenemos un ángulo $\alpha$ del que sabemos que $\sin\alpha =\displaystyle \frac{1}{2}$ y que pertenece al primer cuadrante, calcular su tangente y su coseno es fácil.

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \displaystyle \frac{1}{4}+\cos^2 \alpha =1 \Rightarrow \cos^2=\frac{3}{4} \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$1+\tan^2\alpha =\displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha }\Rightarrow \tan^2 \alpha =\frac{1}{\frac{3}{4}}-1=\frac{4}{3}-1 =\frac{1}{3} \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{\frac{1}{3}} =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$