Ecuaciones logarítmicas de segundo grado

Cuando se trata de ecuaciones logarítmicas de segundo grado el objetivo principal es deshacerse de los logaritmos y obtener una ecuación de segundo grado equivalente.

$$\log(x^2+2x)-\log 8=0$$ Si se pasa el término independiente al segundo miembro se podrán eliminar los logaritmos, con lo que se obtiene una ecuación de segundo grado completa: $$\log(x^2+2x)=\log 8 \Rightarrow x^2+2x=8 \Rightarrow x^2+2x-8=0$$ Para resolverla hay que recordar la fórmula: $$\displaystyle x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ De modo que: $$\displaystyle x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4\cdot (-8)}}{2}=\frac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}=\frac{-2\pm 6}{2}$$ Por tanto, las soluciones de la ecuación serán: $$\displaystyle x=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2 \\ \displaystyle x=\frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4$$

Pero hay que tener en cuenta que algunas de las soluciones no serán válidas para una ecuación logarítmica, puesto que sólo existe el logaritmo de números mayores que $0$. De modo que hay que comprobar, sustituyendo $x$, si obtenemos valores negativos. Comprovémoslo:

Cuando $x=2$ $$x^2+2x \Rightarrow 2^2+2 \cdot 2=4+4=16 >0$$ Luego, la solución es válida.

Para $x =-4$ $$x^2+2x \Rightarrow (-4)^2+2 \cdot (-4)=16-8=8 >0$$ Por tanto, esta solución también es válida.

En el caso anterior, la ecuación equivalente a la logarítmica era de segundo grado completa. Pero también es posible que una ecuación logarítmica derive en una ecuación de segundo grado incompleta.

$$\log(9-x^2)=2\log(3x-3)$$ Por la propiedad del logaritmosde la potencia se puede operar el segundo miembro de modo que: $$\log(9-x^2)=\log(3x-3)^2$$ Con lo que se pueden eliminar los logaritmos y trabajar directamente con la ecuación de segundo grado resultante: $$9-x^2=(3x-3)^2 \Rightarrow 9-x^2=9x^2-18x+9 \Rightarrow 9x^2+x^2-18x+9-9=0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow 10x^2-18x=0$$ Vemos que podemos simplificar la ecuación y nos quedamos sin constante. Entonces podemos sacar factor común $x$ y obtenemos: $$x(10x-18)=0$$ Con lo que: $$\begin{array}{l}x=0\\ \\ 10x-18=0 \Rightarrow \displaystyle x=\frac{18}{10}\Rightarrow x=\frac{9}{5} \end{array}$$

Para comprobar que ambas soluciones lo son también de la ecuación logarítmica debemos sustituir los valores encontrados en las expresiones entre paréntesis:

Cuando $x=0$ $$9-x^2 \Rightarrow 9-0=9>0$$ and $$(3x-3)^2 \Rightarrow (3\cdot 0-3)^2= 9>0$$ Por lo que $x=0$ es solución de la ecuación logarítmica.

Cuando $x =\displaystyle \frac{9}{5}$ $$\displaystyle 9-x^2\Rightarrow 9-\Big( \frac{9}{5}\Big)^2=9-\frac{81}{25}>0$$ y $$\displaystyle (3x-3)^2 \Rightarrow \Big(3\cdot \frac{9}{5}-3\Big)^2=\Big(\frac{27}{5}-3\Big)^2=\Big(\frac{27-5}{5}\Big)^2=\frac{12^2}{5^2}>0$$ Luego, también es una solución válida.

Veamos un último ejemplo antes de pasar a los ejercicios:

$$\displaystyle \log \sqrt{2x}=\log (x-3)+\log 2$$ Como en los casos anteriores, hay que intentar deshacerse de los logaritmos.

Para ello se aplica la propiedad en que la suma de los logaritmos es el logaritmo del producto: $$\displaystyle \log\sqrt{2x}=\log (2 \cdot (x-3))$$ Con lo que se pueden eliminar los logaritmos y trabajar con la ecuación equivalente: $$\displaystyle \sqrt{2x}=2 \cdot (x-3) \Rightarrow \sqrt{2x}=2x-6$$ Ahora cabe eliminar el radical. Para conseguirlo elevamos al cuadrado los térmimos de cada lado y vemos que obtenemos una ecuación de segundo grado: $$2x=(2x-6)^2$$ Se opera el segundo miembro y se organizan los términos para tener la ecuación completa: $$2x=4x^2-24x+36 \Rightarrow 4x^2-24x-2x+36=0 \Rightarrow 4x-26x+36=0$$

Todos los términos de la ecuación resultante pueden dividirse entre $2$ con lo que se obtiene una ecuación equivalente algo más sencilla: $$\displaystyle \frac{4x^2-26x+36}{2}=0 \Rightarrow 2x^2-13x+18=0$$

En este punto se aplica la fórmula para hallar $x$: $$\displaystyle x=\frac{13 \pm \sqrt{13^2-4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}=\frac{13 \pm \sqrt{169-144}}{4}=\frac{13 \pm \sqrt{25}}{4}=\frac{13 \pm 5}{4}$$

Con lo que las soluciones posibles serán: $$\begin{array}{rcl}x & = &\displaystyle \frac{13+5}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}\\ x&=&\frac{13-5}{4}=\frac{8}{4}=2\end{array}$$

Ahora debemos comprobar que realmente los valores encontrados son solución de la ecuación logarítmica, ya que no se pueden dar valores negativos al logaritmo. Comprovemos las soluciones:

Si $x =\displaystyle \frac{9}{2}$: $$x-3 \Rightarrow \frac{9}{2} -3 =\frac{9-6}{2}=\frac{3}{2} >0$$ Por lo tanto, el primer valor es solución de la ecuación logarítmica.

Si $x=2$: $$x-3 \Rightarrow 2-3=-1 < 0$$ Observemos que el número obtenido es negativo y por tanto debemos descartar esta solución.

La ecuación propuesta tiene, por tanto, una única solución: $x=\displaystyle \frac{9}{2}$.