Resolver una ecuación exponencial por cambio de variable
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) $6^x-9 \cdot 6^{-x}+8=0$
b) $3^{2(x+1)}-18\cdot 3^x+9=0$
a) $6^x-9 \cdot 6^{-x}+8=0$
Multiplicamos toda la expresión por $6^x$ y hacemos el cambio de variable $t=6^x$ $$6^{2x}-9+8\cdot6^x=0 \Rightarrow t^2+8t-9=0 \Rightarrow t=1;t=-9$$ Por lo tanto, se coge la solución positiva dado que la negativa no tendrá sentido en hacer el logaritmo. Se tiene $$x=log_6 1=0$$
b) $3^{2(x+1)}-18\cdot 3^x+9=0$
Se introduce el cambio de variable $t=3^x$ y se tiene $$9t^2-18t+9=0 \Rightarrow t=1; t=1$$ $$1=3^x \Rightarrow x=0$$
a) $x=0$
b) $x=0$