Resolver una ecuación exponencial por cambio de variable

Una ecuación exponencial es aquella en la que la o las incógnitas están en el exponente de una potencia. Las ecuaciones exponenciales utilizan conocimientos básicos de las funciones exponencial y logarítmica. Por lo que se les dará un repaso.

Para resolverlas se utilizan las siguientes propiedades:

• $a^0=1$ para cualquier $a$.
• Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales, si y sólo si son iguales sus exponentes. Es decir: $$2^a=2^b \Leftrightarrow a=b$$
• Para cualquier $a \neq 0$ y $a\neq 1$ se tiene que:$$a^x=b \Rightarrow x= \log_ab$$

Cuando se quiere resolver una ecuación exponencial ésta puede tener distinta forma, por ello existen distintos métodos y transformaciones.

Cuando la ecuación es del tipo $f(a^x)=0$ se utiliza el cambio de variable $t=a^x$ y se resuelve la ecuación de primer o segundo orden que aparece. Siempre que se quiera aplicar este caso debe asegurarse que $a \neq 0$ y $a\neq 1$.

$$2-3^{-x}+3^{x+1}=0$$ es de este tipo puesto que $f(3^x)=2-3^{-x}+3^{x+1}=0$

Usamos tal y como hemos dicho el cambio de variable $t=3^x$.

Entonces: $$2-(3^x)^{-1}+3\cdot 3^x= 2-t^{-1}+3 \cdot t=0$$

Dado que estamos seguros que $t$ no es cero (porque no existe ningún $x$ tal que $3^x$ sea cero) no hay problema en que exista una $t$ en el denominador. Multiplicando toda expresión por $t$ obtenemos: $$2-t^{-1}+3 \cdot t=0 \Rightarrow 2 \cdot t - t \cdot t^{-1}+3 \cdot t \cdot t=2t-1+3t^2=0$$ que es una ecuación de segundo grado en la variable $t$.

La resolvemos: $$\displaystyle t=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}=-2 \pm \frac{\sqrt{4+12}}{6}=\frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6}=$$ $$\displaystyle =\frac{-2\pm 4}{6}=\left\{\begin {array}{l}t = \frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\ t = \frac{-6}{6}=-1\end{array}\right.$$

Como es de segundo grado, obtenemos dos soluciones, deshaciendo el cambio para cada una tenemos: $$\displaystyle \left.\begin{array}{rcl} t=\frac{1}{3} & \Rightarrow & 3^x =\frac{1}{3} \\ t=-1 & \Rightarrow & 3^x=-1\end{array}\right\}$$ pero $3^x$ no puede ser nunca negativo de manera que no existe solución para $t=-1$. Ahora solo tenemos una solución que es: $$\displaystyle 3^x=\frac{1}{3} \Rightarrow x=\log_3\Big(\frac{1}{3}\Big)=\log_3 1-\log_3 3=0-1=-1$$

$$5^{2x}-2\cdot 5^x-15=0$$ Utilizamos el cambio de variable $5^x=t$: $$t^2-2t-15=0$$ Se resuelve la ecuación de segundo grado y se tiene: $$t=5 \mbox{ y } t=-3$$ por lo tanto $x=\log_5 5 $ y la otra solución no se considera puesto que $x=\log_5 (-3)$ no tiene sentido.

Imaginemos que queremos construir nosotros una ecuación que se resuelva de esta manera. Una manera de proceder es, tomar una ecuación de segundo grado $3t^2-t-4=0$ que tiene soluciones $\displaystyle t=\frac{4}{3}$, $t=-1$ y escogemos una base para considerar el cambio $t=7^x$, por ejemplo. Así sustituyendo en la ecuación se tiene: $$3\cdot (7^x)^2-(7^x)-4=0 \Rightarrow 3 \cdot 7^{2x}-7^x-4=0$$