Ecuaciones diofánticas cuadráticas

Las ecuaciones diofánticas cuadráticas son ecuaciones del tipo: $ax^2+bxy+cy^2=d$ donde $a$, $b$, $c$ y $d$ son enteros, y se pide que las soluciones $x$ e $y$ sean números enteros.

No obstante, aquí sólo se van a tratar ecuaciones diofánticas cuadráticas del tipo: $x^2-y^2=n$ con $n$ cualquier número entero.

En este caso, tal y como antes, puede pasar que la ecuación no tenga solución, o bien que tenga más de una solución. No obstante, la condición para que esta ecuación diofántica tenga solución es más sencilla: Si $n$ se puede escribir como producto de dos números que sean o bien ambos pares, o bien impares, entonces habrá solución.

Si $n = 4$ tenemos que $n = 2 \cdot 2$, y ambos son pares, por lo tanto la ecuación $x^2-y^2=4$ tiene solución.

Si $n = 15$, se tiene que $n = 3 \cdot 5$, $3$ y $5$ son ambos impares, por lo tanto la ecuación $x^2-y^2=15$ tiene solución.

Si $n = 6$, se tiene que los divisores de $6$ son $1, 2, 3$ y $6$.

Además, para que el resultado de multiplicarlos de $6$ se tiene que hacer o bien $1\cdot 6$, o bien $2 \cdot 3$, y no existe ninguna otra forma de escribir $6$ como producto de $2$ números enteros (positivos).

En ninguno de los 2 casos se cumple que ambos números sean pares o impares, así que la ecuación $x^2-y^2=6$ no tiene solución.

Supongamos ahora que $n = a \cdot b$, con $a$ y $b$ pares los dos o impares los dos. Entonces una solución viene dada por: $$\displaystyle \begin{array}{c} x=\frac{a+b}{2} & y=\frac{a-b}{2}\end{array}$$

Por ejemplo, en el caso que se ha visto antes de $n = 4 = 2 \cdot 2$, se tiene que $a= 2$ y $b = 2$, por lo tanto una solución es $$\displaystyle \begin{array} {c}x=\frac{2+2}{2}=2 & y=\frac{2-2}{2}=0\end{array}$$

Observemos que en caso que exista una solución, esta puede no ser única, ya que es posible que $n$ admita otra descomposición como producto de dos números pares o impares.

Por ejemplo, si $n = 16$, se tiene que $n = 2\cdot8$ (los 2 son pares) pero también $n = 4\cdot4$ (y también los 2 son pares), y cada una de estas dos representaciones de $n$ da una solución diferente de la ecuación diofántica.