Ecuaciones lineales homogéneas a coeficientes constantes de orden n

Al igual que pasa con los sistemas lineales de orden $1$, una ODE de orden $n$ tiene $n$ soluciones linealmente independientes de manera que toda solución de una EDO homogénea será combinación lineal de estas soluciones. Por lo tanto, resolver la EDO consistirá en encontrar estas $n$ funciones.

Consideramos la EDO $$a_n \cdot y^{(n)} (x)+a_{n-1} \cdot y^{(n-1)}+ \ldots +a_1 \cdot y'+ a_0 \cdot y=0$$ donde $a_i$ son constantes.

Un ejemplo de EDO de orden $n$ homogénea sería:$$y''+y=0$$

Entonces definimos el polinomio característico de la EDO como: $$a_n\cdot \lambda^n+a_{n-1} \cdot \lambda^{n-1}+ \ldots + a_1 \cdot \lambda+a_0=0$$ y buscamos sus $n$ raíces.

El polinomio característico es fácil de escribir, basta canviar $y$ por $\lambda$ y elevar al orden de derivación correspondiente.

Por ejemplo, en la EDO que hemos dado antes, el polinomio característico asociado es: $\lambda ^2+1=0$.

Este polinomio tiene dos raíces complejas conjugadas: $\lambda_1=i, \ \lambda_2=-i$

Entonces

• Si $\lambda$ es real y simple dará lugar a la solución: $e^{\lambda x}$
• Si $\lambda$ es real de multiplicidad $m$ dará lugar a las $m$ soluciones:$e^{\lambda x}, x\cdot e^{\lambda x}, x^2\cdot e^{\lambda x}, \ldots, x^{m-1} \cdot e^{\lambda x}$
• Si $\lambda=a+bi$ es complejo y simple, dará lugar a dos soluciones: $e^{ax}\cos (bx), e^{ax}\sin (bx)$ (hay dos porque siempre que existe una raíz compleja su conjugada también aparece)
• Si $\lambda=a+bi$ es complejo de multiplicidad $m$, dará lugar a las $2m$ soluciones: $$e^{ax}\cos (bx),x \cdot e^{ax}\cos (bx), \ldots, x^{m-1}e^{ax}\cos (bx) \\ e^{ax}\sin (bx), x\cdot e^{ax}\sin (bx), \ldots, x^{m-1} e^{ax}\sin (bx)$$

Entonces, encontradas estas $n$ soluciones, la solución general de la EDO será una combinación lineal de estas $n$ soluciones.

Retomemos el ejemplo del principio. Como nuestro polinomio tenía por raíces dos complejos conjudados (simples) estamos en el caso 3. Por lo tanto la solución es: $$y(x)=c_1 \cdot \cos x+ c_2 \cdot \sin x$$ donde las constantes se determinarán con las condiciones iniciales (en caso de tenerlas).