Ecuaciones lineales a coeficientes constantes de orden n

Buscaremos soluciones de un sistema lineal a coeficientes constantes de orden $n$ no homogéneo. Aún así, tendremos que añadir una restricción en el método que presentaremos.

Si nuestra EDO es: $$a_n \cdot y^{(n)}(x)+a_{n-1} \cdot y^{(n-1)}(x)+ \ldots + a_1 \cdot y'(x) +a_0 \cdot y(x)= f(x)$$ (lineal a coeficientes constantes) tenemos que pedir que la función $f(x)$ sea un polinomio, una exponencial, seno o coseno o cualquier combinación de éstas.

Es decir, ahora estaremos preparados para resolver por ejemplo: $$y''+y=3 \cos x+e^2x$$

Por el mismo motivo que en sistemas lineales, una solución general de esta ecuación es una suma de la solución general de la parte homogénea y una solución particular de la no homogénea.

Vamos a resolver la EDO por el método del polinomio anulador o de coeficientes indeterminados.

Supongamos que tenemos la EDO escrita anteriormente y $f(x)$ una función que cumpla las condiciones que hemos pedido. Entonces:

• Resolvemos la parte homogénea. De forma que obtenemos $n$ soluciones linealmente independientes.

En el ejemplo que hemos dado, la soluciones son:$$y_1(x)=\cos x \\ y_2(x)=\sin x$$

• Buscamos un polinomio que anule $f(x)$. Esta operación consiste a encontrar un polinomio que sus coeficientes multipliquen las derivadas. Es decir:$$Q(D)=b_nD^n+b_{n-1}D^{n-1}+ \ldots+b_1D+b_0Id$$where $D^k$ significa derivar $k$ veces la función que lo multiplica. Así,$$Q(D)f(x)=\Big(b_nD^n+b_{n-1}D^{n-1}+ \ldots +b_1D+b_0Id\Big) f(x)=\\=b_nD^nf(x)+b_{n-1}D^{n-1}f(x)+ \ldots + b_1 D f(x)+b_0Id\cdot f(x)= \\ =b_n f^n (x)+b_{n-1}f^{n-1}(x)+ \ldots +b_1 f'(x)+b_0f(x)=0$$Es decir, es como buscar qué EDO lineal y homogénea satisface $f (x)$. Para hacerlo procedemos de forma inversa (de cuando encontramos soluciones en el caso homogéneo).

En el ejemplo anterior, tenemos que encontrar un polinomio que anule $f(x)=3 \cos x+e^{2x}$.

Procedamos de forma inversa que cuando encontramos soluciones, es decir: $\cos x$ proviene de $\lambda=ie^{2x}$ que proviene de $\lambda=2$.

Por lo tanto el polinomio anulador es: $Q(D)=\Big(D^2+ID\Big) \cdot (D \cdot 2Id)$.

En efecto, $$Q(D)f(x)=\Big(D^2+Id \Big) \cdot \Big(D-2Id\Big) f(x)=\Big( D^3-2D^2+D-2Id\Big)f(x)=\\ =f'''(x)-ef''(x)+f'(x)-2f(x)=\\=3 \sin x+8e^{2x}+6 \cos x- 8e^{2x}-3 \sin x+2e^{2x}-6\cos x-2e^{2x}=0$$

• Notemos que, introduciendo esta notación, nuestra EDO inicial se puede escribir como $P(D)y(x)=f(x)$ , con $$P(D)=a_nD^n+a_{n-1}D^{n-1}+\ldots+a_1D+a_0Id$$ Aplicando el polinomio $Q (D)$ a la anterior igualdad tenemos: $$P(D)y(x)=f(x) \Longrightarrow Q(D)P(D)y(x)=Q(D)f(x)=0$$ y por lo tanto tenemos una nueva ecuación, pero homogénea de orden $k$ (mayor que $n$). Entonces solucionamos este problema, obteniendo $k$ funciones, de las cuales las $n$ primeras son soluciones encontradas en (1).$$y^\star (x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\ldots+C_ny_n(x)+D_1\widetilde{y}_{n+1}(x)+ \ldots +D_k \widetilde{y}_k(x)$$

En el ejemplo anterior, pues, tenemos $Q(D)P(D)=(D^2+Id)(D^2+Id)(D-2Id)$ que tiene por raíces (y por lo tanto por soluciones asociadas): $\lambda = \pm i$ con multiplicidad $2$ que da por soluciones $\cos x, \sin x, x \cdot \cos x, x \cdot \sin x$, $\lambda=2 $ que da por solución $e^{2x}$.

Por lo tanto tenemos que $$y^\star (x)=C_1\cos x+C_2 \sin x+D_1 x\cdot \cos x+D_2 x \cdot \sin x+D_3 e^{2x}$$

• Buscamos una solución particular de la ecuación no homogénea de la forma: $y_p(x)=D_1\widetilde{y}_{n+1}(x)+\ldots+D_k\widetilde{y}_k(x)$ es decir, cogemos las soluciones que han aparecido en (3), que no teníamos en (1) y buscamos ciertos coeficientes para obtener la solución.

En nuestro ejemplo, debemos buscar una solución particular de la forma: $y_p(x)=D_1\cdot \cos x$.

Impongamos que sea solución: $$y''_p+y_p=3 \cos x+e^{2x} \\ y''_p+y_p=-2D_1\sin x-D_1x\cos x+2D_2\cos x-D_2x\sin x+4D_3e^{2x}+D_1x \cos x+$$ $$+D_2 x \sin x+D_3 e^{2x}= \\ =-2D_1 \sin x +2 D_2 \cos x+ 5D_3e^{2x}$$ Igualando coeficientes, obtenemos: $$D_1=0 \\ D_2=\displaystyle \frac{3}{2} \\ D_3= \displaystyle \frac{1}{5}$$ Por lo tanto, la solución particular es: $\displaystyle y_p(x)=\frac{3}{2}x \cdot \sin x+\frac{1}{5}e^{2x}$

• Finalmente, tenemos que la solución general de nuestra EDO no homogénea inicial es:$$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$$

Para acabar con nuestro ejemplo, tenemos que la solución general es: $$y(x)=c_1\cos x +c_2 \sin x+\displaystyle \frac{3}{2} x \cdot \sin x+\frac{1}{5}e^{2x}$$