Ecuaciones diferenciales ordinarias separables

Se trata de una EDO separable, ya que podemos conseguir separar las $x$'s de las $y$'s a cada miembro de la ecuación: $$2y\cdot y'=-x^2$$ Ahora transformamos $y'=\dfrac{dy}{dx}$

Y procedemos como hemos explicado: $$2y\cdot \dfrac{dy}{dx}=-x^2 \Rightarrow 2y\cdot dy=-x^2\cdot dx \Rightarrow \int 2y\cdot dy= \int -x^2\cdot dx \Rightarrow$$ $$\Rightarrow y^2=-\dfrac{x^3}{3}+C$$ Ahora, ya hemos conseguido que no aparezcan derivadas en la expresión. Sólo nos falta despejar $y$ en función de $x$: $$y(x)=\pm\sqrt{C-\dfrac{x^3}{3}}, \ C\in\mathbb{R}$$ Observamos que no hemos obtenido una única solución. Esto es porque $f(x,y)=-\dfrac{x^2}{2y}$ que no es continua en $y=0$.

Para que se trate de una EDO separable, tenemos que pasar dividiendo $y$, pero $y$ puede valer cero. Por lo tanto, tenemos que distinguir dos casos:

Caso 1: Si $y\neq0$ se trata de una EDO separable y podemos pasar dividiendo la $y$: $$y'=y\cdot\sin(x) \Rightarrow \dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{y'}{y}=\sin(x) \Rightarrow \dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{dy}{dx}=\sin(x) \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \dfrac{dy}{y}=\sin(x)\cdot dx \Rightarrow \int \dfrac{dy}{y}=\int \sin(x)\cdot dx \Rightarrow$$ $$\ln|y(x)|=-\cos(x)+C \Rightarrow |y(x)|=e^{-\cos(x)+C}=e^{-\cos(x)}\cdot e^{C}=k\cdot e^{-\cos(x)}, \ k > 0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow y(x)=k\cdot e^{-\cos(x)}, \ k\neq0$$ donde $k$ es una constante a determinar con las condiciones iniciales.

Caso 2: Si $y=0$, idénticamente. Vemos que trivialmente es solución. Por lo tanto también la tenemos que considerar. Basta permitir que la constante que nos ha salido pueda tomar el valor $0$.

De esta manera la solución general es: $$y(x)=k\cdot e^{-\cos(x)}, \ k\in\mathbb{R}$$ Ahora imponemos las condiciones iniciales para determinar $k$: $$y(\pi)=-3 \Rightarrow -3=k\cdot e^{-\cos(\pi)}=k\cdot e \Rightarrow k=-\dfrac{3}{e}$$