Ecuaciones diferenciales ordinarias separables

Consideremos una EDO de primer orden,$y'=f(x,y)$ con $y$. Diremos que la EDO es separable si podemos conseguir reescribirla como $h(y) \cdot y'=g(x)$, es decir si podemos pasar todo lo que depende de $y$ a un lado de la igualdad y todo lo que depende de $x$ al otro.

Una EDO separable sería $y'=2xy$, puesto que podemos poner todo lo que depende de la varible $y$ a un lado de la igualdad y todo lo que depende de $x$ al otro dividiendo por $y$: $$\displaystyle y'=2xy \Longrightarrow \frac{1}{y}y'=2x$$ En nuestro caso, pues $$\displaystyle h(y)=\frac{1}{y}, \ g(x)=2x$$

Entonces integramos a los dos lados de la igualdad y obtenemos la solución: $$\displaystyle h(y) \cdot y'=g(x) \Longrightarrow h(y)\cdot \frac{dy}{dx}=g(x) \Longrightarrow h(y)dy=g(x)dx \Longrightarrow$$ $$\int h(y) dy=\int g(x)dx+C$$ Notemos que tenemos que añadir una constante aditiva, puesto que al integrar siempre nos sale una. Ahora intentamos aislar $y$ en función de $x$ y obtenemos la solución.

Continuando con el caso mostrado anteriormente: $$\displaystyle \frac{1}{y}y'=2x \Rightarrow \frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=2x \Rightarrow \frac{dy}{y}=2x \cdot dx \Rightarrow \int \frac{dy}{y}=\int 2x \cdot dx+C \Rightarrow \\ \Rightarrow \ln |y|=x^2+C \Rightarrow |y|= e^{x^2+C}=e^{x^2} \cdot e^C=K\cdot e^{x^2}, \ k>0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow y(x)=k \cdot e^{x^2}, \ k > 0$$

Un concepto que es importante destacar es que, a veces, al separar las variables, podemos perder soluciones por el camino. Para conseguir tener la $y$ a un lado estamos suponiendo que $y \neq 0$. Ahora bien, si nos fijamos en la EDO nos damos cuenta que $y=0$ es también una solución en la que $k$ vale zero.

Como ya hemos dicho, a veces, tendremos que resolver un PVI. En el ejemplo hemos encontrado todas la soluciones de la EDO. Para encontrar la solución que verifica un PVI basta imponer las condiciones iniciales y encontar la constante concreta que hace que se cumpla la condición.

Consideramos el PVI: $$\left\{\begin{matrix} y'=2xy \\ y(0)=1 \end{matrix}\right.$$ Por el desarrolo anterior sabemos que las soluciones son: $y(x)=k\cdot e^{x^2} k \in \mathbb{R}$.

Busquemos, pues, el valor de $k$ de manera que se cumpla $y(0)=1$: $$y(0)=1 \Rightarrow 1= y(0)=k\cdot e^0 \Rightarrow k=1$$ Por lo tanto, la solución de nuestro PVI es: $y(x)=e^{x^2}$.

Vamos a considerar unos cuantos ejemplos:

Resolver la EDO: $$y'=4xe^-y$$ Se trata de una EDO separable ya que podemos poner todo lo que depende de $x$ a un lado y todo lo que depende de $y$ al otro.

En efecto: $$y'\cdot e^y=4x $$ Ahora procedemos como hemos descrito: $$\displaystyle y'=\cdot e^y=4x \Rightarrow \frac{dy}{dx}e^y=4x \Rightarrow e^y\cdot dy= 4x \cdot dx \Rightarrow \int e^y \cdot dy= \int 4x \cdot dx \Rightarrow$$ $$\Rightarrow e^y=2x^2+C \Rightarrow y(x)= \ln\Big(2x^2+C\Big)$$ donde $C$ es la constante que se determinaría en caso de que tengamos condiciones iniciales.

Resolver la EDO: $$2x+5=y' \cdot \sin y$$ Observamos que, en este caso, la ecuación ya tiene las variables separadas.

Así que procedimos a hacer las integrales: $$2x+5 = y'\sin y \Rightarrow 2x+5= \sin y \cdot \frac{dy}{dx} \Rightarrow \int (2x+5) \ dx = \int \sin y \ dy \Rightarrow$$ $$\Rightarrow x^2+5x+C= -\cos y \Rightarrow y(x)=\arccos (-x^2-5x-C) $$

Resolver la EDO: $$y'=x \cdot (y^2+1)$$ Se trata, otra vez, de una EDO separable, basta dividir los términos por $y^2+1$. Así pues su solución se obtiene de la siguiente manera:

$$\displaystyle \frac{y'}{y^2+1}=x \Rightarrow \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{y^2+1}=x \Rightarrow \frac{dy}{y^2+1}=x \cdot dx \Rightarrow \int \frac{dy}{y^2+1}=\int x \cdot dx \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \arctan y=x+C \Rightarrow y(x)=\tan (x+C)$$