Equacions diferencials ordinàries separables

Es tracta d'una EDO separable, ja que podem aconseguir separar les $x$'s de les $y$'s a cada membre de l'equació: $$2y\cdot y'=-x^2$$ Ara transformem $y'=\dfrac{dy}{dx}$

I procedim com hem explicat: $$2y\cdot \dfrac{dy}{dx}=-x^2 \Rightarrow 2y\cdot dy=-x^2\cdot dx \Rightarrow \int 2y\cdot dy= \int -x^2\cdot dx \Rightarrow$$ $$\Rightarrow y^2=-\dfrac{x^3}{3}+C$$ Ara, ja hem aconseguit que no apareguin derivades en l'expressió. Només ens falta aïllar $y$ en funció de $x$: $$y(x)=\pm\sqrt{C-\dfrac{x^3}{3}}, \ C\in\mathbb{R}$$ Observem que no hem obtingut una única solució. Això és perquè $f(x,y)=-\dfrac{x^2}{2y}$ que no és contínua en $y=0$.

Perquè es tracti d'una EDO separable, hem de passar dividint $y$, però $y$ pot valdre zero. Per tant, hem de distingir dos casos:

Cas 1: Si $y\neq0$ es tracta d'una EDO separable i podem passar dividint la $y$: $$y'=y\cdot\sin(x) \Rightarrow \dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{y'}{y}=\sin(x) \Rightarrow \dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{dy}{dx}=\sin(x) \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \dfrac{dy}{y}=\sin(x)\cdot dx \Rightarrow \int \dfrac{dy}{y}=\int \sin(x)\cdot dx \Rightarrow$$ $$\ln|y(x)|=-\cos(x)+C \Rightarrow |y(x)|=e^{-\cos(x)+C}=e^{-\cos(x)}\cdot e^{C}=k\cdot e^{-\cos(x)}, \ k > 0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow y(x)=k\cdot e^{-\cos(x)}, \ k\neq0$$ on $k$ és una constant a determinar amb les condicions inicials.

Cas 2: Si $y=0$, idènticament. Veiem que trivialment és solució. Per tant també l'hem de considerar. Només cal permetre que la constant que ens ha sortit pugui prendre el valor $0$.

D'aquesta manera la solució general és: $$y(x)=k\cdot e^{-\cos(x)}, \ k\in\mathbb{R}$$ Ara imposem les condicions inicials per determinar $k$: $$y(\pi)=-3 \Rightarrow -3=k\cdot e^{-\cos(\pi)}=k\cdot e \Rightarrow k=-\dfrac{3}{e}$$