Ecuación de segundo grado a partir de sus soluciones y suma y producto de raíces

Construcción de una ecuación de segundo grado a partir de sus soluciones

Vamos a ver ahora la manera en cómo se puede construir una ecuación de segundo grado cuando se conocen las soluciones.

Las soluciones de la ecuación $x^2+2x-3=0$ son:

$$\displaystyle x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2 \pm 4}{2}=\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_2=-3 \end{matrix}\right.$$

Observemos ahora qué sucede cuando hacemos el producto $(x-x_1) \cdot (x-x_2)$

$$(x-1) \cdot (x+3)=x^2-x+3x-3=x^2+2x-3$$Hemos llegado pues a la ecuación original.

De manera que "el producto de equis menos una raíz por equis menos la otra raíz es igual a la ecuación de segundo grado que tiene como soluciones dichas raíces".

Si las soluciones de la ecuación son $x_1=4,x_2=2$ la ecuación correspondiente de segundo grado es:

$$(x-4)(x-2)=x^2-6x+8=0$$

Si las raíces de la ecuación son $x_1=-1, x_2=-5$ la ecuación correspondiente de segundo grado es:

$$(x+1)(x+5)=x^2+6x+5=0$$

Si las soluciones de la ecuación son $x_1=3, x_2= \displaystyle -\frac{2}{3}$ la ecuación correspondiente de segundo grado es:

$$\displaystyle (x-3)(x+\frac{2}{3})=x^2-\frac{7}{3}x-2=0$$

Si las raíces de la ecuación son $x_1=0, x_2=16$ la ecuación correspondiente de segundo grado es:

$$(x-0)(x-16)=x^2+16x=0$$

Reconstrucción de una ecuación de segundo grado a partir de la suma y el producto de raíces

Sabemos que $(x-x_1)\cdot (x-x_2)$ conduce a la ecuación que tiene a $x_1,x_2$ como soluciones. Si efectuamos este producto:

$$(x-x_1)\cdot (x-x_2)=x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$$

expresión en la que aparecen la suma y el producto de raíces a los que podemos llamar $s$ y $p$.

$$s= x_1+x_2 \\ p=x_1\cdot x_2$$

Con lo que la ecuación de segundo grado adquiere la forma:

$$x^2-sx+p=0$$

Construir una ecuación de segundo grado sabiendo que la suma de sus raíces vale $5$ y el producto $6$.

Tendremos $s = 5, \ p = 6$ con lo que la ecuación será:

$$x^2-5x+6=0$$

Este método es más rápido que el de hacer el producto de raíces.

Veamos otros ejemplos:

La ecuación de segundo grado que tiene por soluciones $4$ y $9$ es:

$$x^2-13x+36=0$$

La ecuación de segundo grado que tiene por soluciones $-3$ y $-5$ es:

$$x^2+8x+15=0$$

En principio no es sencillo crear un enunciado que nos conduzca a una ecuación de segundo grado. La manera más sencilla sería escribir literalmente lo que dice la ecuación.

Si queremos que la solución del problema sea la ecuación $x^2-5x+6=0$ podemos plantear un enunciado del tipo: Si elevamos una cantidad al cuadrado y luego le restamos cinco veces esa misma cantidad el resultado es menos $6$ ¿Cual es dicha cantidad?

Está claro que es un enunciado más interesante el que dice "Hallar dos números sabiendo que su suma vale $5$ y el producto $6$" enunciado que conduce a la misma ecuación y cuyas soluciones son las resultantes de resolver la ecuación propuesta:

$$\displaystyle x=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}= \frac{5 \pm 1}{2}= \left\{ \begin{matrix} x_1=3 \\ x_2=2\end{matrix} \right.$$

Estos mismos datos nos permiten hacer un planteamiento de tipo geométrico.

Sabemos que el perímetro de un rectángulo es $10$ y su área $6$. Calcular los lados de dicho rectángulo.

El perímetro del rectángulo es la suma de todos sus lados, de manera que $a+a+b+b = 2a + 2b= 2(a+b) = 10$, que es, $a + b = 5$

Por otro lado el área del rectángulo es $a \cdot b = 6$.

Luego lo que se nos pide es que resolvamos una ecuación de segundo grado en la que la suma de raíces vales $5$ y el producto $6$, lo que nos lleva a la ecuación $x^2-5x+6=0$.

Y la solución es:

$$\displaystyle x=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5 \pm 1}{2}$$

Con lo que los lados del rectángulo serán $a = 2$ y $b = 3$