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Propiedades de los determinantes
Crear una matriz $4\times4$ cuya columna 4 sea combinación lineal de las dos primeras y calcular su determinante.
Construimos una matriz $4\times4$ dejando la columna 4 vacía $$\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & \fbox{ } \\ -1 & 0 & 3 & \fbox{ } \\ -2 & 1 & -1 & \fbox{ } \\ 0 & 0 & 1 & \fbox{ } \end{matrix} \right)$$
Exijo que la columna 4 sea combinación lineal de las columnas C1 y C2.
$C4=C1+C2$ (Hay infinitas posibilidades)
Entonces la matriz $4\times4$ queda $$\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & -1 \\ -2 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right)$$
Calcúlese ahora el determinante. ¿Es necesario hacerlo? Por propia construcción se cumple la propiedad 2.c) entonces el determinante es nulo.
$$det(A)=0$$
Crear una matriz $3\times3$ cualquiera, calcular su traspuesta y luego su determinante. Calcular también el determinante de la matriz sin trasponer.
En primer lugar creamos la matriz $3\times3$ $$A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -4 \end{matrix} \right)$$ La construcción de la matriz traspuesta se hace intercambiando filas por columnas, es decir, $$A^t=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \end{matrix} \right)$$ Calcúlese el determinante: $$det(A^t)=\left|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \end{matrix} \right|=-8+0+2-(-4)-1-0=-3$$ Calcúlese también det(A). El resultado debería ser el mismo, o sea que calcular det(A) puede ser una manera para comprobar que efectivamente no nos habíamos equivocado en los cálculos. $$det(A)=\left|\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -4 \end{matrix} \right|=-8+2+0-(-4)-1-0=-3$$ Los resultados coinciden.
$$det(A)=det(A^t)=-3$$
Demostrar que un determinante con una columna repetida es nulo(hacerlo para orden 3 o superior).
El primer paso es construir la matriz, en este caso $3\times3$, más general posible pero que tenga una columna repetida. Esa es $$A=\left(\begin{matrix} a & d & a \\ b & e & b \\ c & f & c \end{matrix} \right)$$ calculemos ahora el determinante (se puede hacer mediante el método general o usando la regla de Sarrus) $$det(A)=\left|\begin{matrix} a & d & a \\ b & e & b \\ c & f & c \end{matrix} \right|=\cancel{a\cdot e\cdot c}+\bcancel{b\cdot f \cdot a} + \xcancel{c \cdot d \cdot b}$$ $$ - \cancel{a \cdot e \cdot c} - \bcancel{b\cdot f \cdot a} - \xcancel{c \cdot d \cdot b} = 0$$
$$det(A)=0$$