Propietats dels determinants

Construïm una matriu $4\times4$ deixant la columna 4 buida $$\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & \fbox{ } \\ -1 & 0 & 3 & \fbox{ } \\ -2 & 1 & -1 & \fbox{ } \\ 0 & 0 & 1 & \fbox{ } \end{matrix} \right)$$

Exigeixo que la columna 4 sigui combinació lineal de les columnes C1 i C2.

$C4=C1+C2$ (Hi ha infinites possibilitats)

Llavors la matriu $4\times4$ queda $$\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & -1 \\ -2 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right)$$

Calculeu ara el determinant. És necessari fer-ho? Per pròpia construcció es compleix la propietat 2.c) llavors el determinant és nul.

En primer lloc creem la matriu $3\times3$ matrix $$A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -4 \end{matrix} \right)$$ La construcció de la matriu transposada es fa intercanviant files per columnes, és a dir, $$A^t=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \end{matrix} \right)$$ Calculeu el determinant: $$det(A^t)=\left|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \end{matrix} \right|=-8+0+2-(-4)-1-0=-3$$ Calculeu també det (A). El resultat hauria de ser el mateix, és a dir de calcular det (A) pot ser una manera per comprovar que efectivament no ens havíem equivocat en els càlculs. $$det(A)=\left|\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -4 \end{matrix} \right|=-8+2+0-(-4)-1-0=-3$$ Els resultats coincideixen.

El primer pas és construir la matriu, en aquest cas $3\times3$, més general possible però que tingui una columna repetida. Aquesta és $$A=\left(\begin{matrix} a & d & a \\ b & e & b \\ c & f & c \end{matrix} \right)$$ calculem ara el determinant (es pot fer mitjançant el mètode general o usant la regla de Sarrus) $$det(A)=\left|\begin{matrix} a & d & a \\ b & e & b \\ c & f & c \end{matrix} \right|=\cancel{a\cdot e\cdot c}+\bcancel{b\cdot f \cdot a} + \xcancel{c \cdot d \cdot b}$$ $$ - \cancel{a \cdot e \cdot c} - \bcancel{b\cdot f \cdot a} - \xcancel{c \cdot d \cdot b} = 0$$