Propiedades de los determinantes

Los determinantes tienen ciertas propiedades que deben conocerse. Dichas propiedades son de gran ayuda para convertir el cálculo de determinantes en algo un poco menos lento y pesado.

Véanse, pues, algunas de estas propiedades:

1. El determinante de una matriz y el de su traspuesta (La matriz traspuesta resulta de girar las filas de una matriz convirtiéndolas en columnas) son iguales.

$$\left| A \right| = \left| A^t \right|$$

2. El determinante de una matriz es nulo, $\left| A \right|=0$, cuando:
3. La matriz posee dos líneas iguales. Es fácil demostrarlo como ejercicio para un caso $3 \times 3$ por ejemplo:

$$\begin{matrix} \left| \begin {matrix}a & b & c\\ d & e & f\\ a & b & c \end{matrix}\right| \\ \end{matrix}= a \cdot e \cdot c+ d \cdot b \cdot c + a \cdot b \cdot f- c \cdot e \cdot a - f \cdot b \cdot a - c \cdot b \cdot d =0$$

2. Todos los elementos de una línea son nulos.
3. Una de las líneas es combinación lineal de las otras. Esto es:

$$\left| \begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & 1\end{matrix}\right|$$

La fila 2 es combinación lineal de las otras dos ($f_2=f_1+f_3$). Sin calcular nada se sabe que el determinante será nulo. 3. Si intercambiamos la posición de dos líneas, el determinante cambia de signo:

$$\left| \begin{matrix}0 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 7 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right|=-\left| \begin{matrix}1 & 2 & 7 \\ 0 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 2\end{matrix}\right|$$

4. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un número real el valor del determinante no varía.

$$\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right| \rightarrow C_3= 2\cdot C_1+C_3 \rightarrow \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 8 \end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right|$$

5. Multiplicar un determinante por un número real es lo mismo que multiplicar sólo una de sus líneas por ese número real.

$$2\left| \begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1\end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix}2 & 6 & 4 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1\end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 8 \\ 1 & 2 & 1\end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 2\end{matrix}\right|=6$$

6. El determinante de un producto es igual al producto de determinantes.

$$\left| A \cdot B \right|= \left|A\right| \cdot \left| B \right|$$

Sabiendo estas propiedades el cálculo de determinantes puede agilizarse. Teniendo en cuenta la propiedad 4 podemos ir modificando nuestro determinante mediante combinaciones lineales de tal forma que pueda conseguir el mayor número de $0$ o $1$ posibles, lo cual aligeraría mucho los cálculos.

$$\left| \begin{matrix} 1 & 3 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & 2 & 3 \end{matrix}\right| \rightarrow \begin{array}{c} f_1 \rightarrow f_1 \\ f_2 \rightarrow f_2-f_1 \\ f_3 \rightarrow f_3 -2f_1 \\f_4 \rightarrow f_4-f_1 \end{array} \rightarrow \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & -6 & -9 \\ 0 & 2 & -1 &-3\end{matrix}\right|$$

Y como la primera columna es nula excepto el primer elemento solamente deberá calcularse el determinante $\left| \begin{matrix}0 & 3 & 1 \\ -2 & -6 & -9 \\ 2 & -1 & -3\end{matrix}\right|$ puesto que las demás contribuciones serían nulas.