Recta normal a una curva en un punto

Es la recta que, en el punto de corte con la curva, es perpendicular a la curva en cuestión.

El siguiente ejemplo gráfico muestra la recta normal a la curva $\displaystyle y=\frac{1}{x-1}+1$:

Dos funciones $f(x),g(x)$ serán normales en un punto si, en el punto de corte $a$, se cumple que: $$f'(a)\cdot g'(a)=-1$$

La siguiente tabla muestra varios valores de pendientes de rectas perpendiculares entre si:

$f'(a)$	$g'(a)$
$1$	$-1$
$2$	$\displaystyle -\frac{1}{2}$
$-3$	$\displaystyle \frac{1}{3}$
$\displaystyle \frac{3}{8}$	$\displaystyle -\frac{8}{3}$

La expresión general de la recta normal a $f(x)$ en el punto $a$ es:$$\displaystyle y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}\cdot (x-a)$$

Resolver el ejemplo gráfico mostrado anteriormente, es decir, encontrar la recta normal a $f(x)=\displaystyle \frac{1}{x-1}+1$ en el punto $a=2$:

a) Se encuentra el pendiente de la curva en el punto de corte: $$\begin{array}{rcl} \displaystyle f'(x)& =& -\frac{1}{(x-1)^2} \\ f'(2)& = &-1\end{array}$$Y el pendiente de la recta es: $$\displaystyle m=-\frac{1}{f'(2)}=1$$

b) Dicha recta pasará por $$(a,f(a))=(2,2)$$

Finalmente, la ecuación de la recta normal es: $$\begin{array}{rcl}y-2 & = & 1\cdot (x-2) \\ y & = & x \end{array}$$ Lo que es consistente con la gráfica mostrada.

Encuentra la recta tangente a la función $y=\sqrt{x}$ en el punto $x=0$, así como su recta normal.

a) Se empieza buscando la derivada de la función y su valor en $x=0$.

Viendo que no existe, se calcula el límite acercándose a $x=0$ por la derecha: $$\displaystyle \begin{array}{l} y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ \lim_{x \to 0} y'(x)=\lim_{x \to 0} \frac{1}{2\sqrt{x}}=\infty\end{array}$$

b) Dado que la representación del tipo $y=a\cdot x+b$ no es útil para mostrar una variación infinita, hay que identificar que la recta normal a $y=\sqrt{x}$ coincide con el eje $y$, es decir, con $x=0$.

c) Finalmente, cabe observar que la recta perpendicular al eje $y$ es el eje $x$, es decir, $y=0$.