Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Estudiar el los intervalos de crecimiento/decrecimiento de las siguientes funciones:
a) $y=x^2$
b) $y=\sin x$
En ambos casos se buscarán dichos intervalos de dos maneras. La primera, más intuitiva, será a partir del gráfico de la función. La segunda, más analítica, se hará a partir del cálculo de la derivada.
a) Véase el gráfico de la función
Intervalos de crecimiento: $$x\in (-\infty,0) \ \mbox{Estrictamente decreciente}$$ $$x\in(0,\infty) \ \mbox{Estrictamente creciente}$$
Si uno calcula la derivada: $y'=2x$
Por lo tanto, para los puntos $x < 0$ la derivada es estrictamente negativa, lo cual implica que la función es estrictamente decreciente.
Para los puntos $x > 0$ la derivada es estrictamente positiva, o sea que este intervalo la función es estrictamente creciente.
b) Véase primero el gráfico
Intuitivamente se ve que hay intervalos creciente e intervalos decrecientes que se repiten periódicamente. Necesitamos las herramientas analíticas para definir con exactitud dichos intervalos.
Si uno calcula la derivada: $y'=cos(x)$.
Intervalos con $y' > 0: \ \Big(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{7\pi}{2},\dfrac{9\pi}{2}\Big),\ldots$
Intervalos con $y' < 0: \ \Big(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{9\pi}{2},\dfrac{11\pi}{2}\Big),\ldots$
En realidad pues hay infinitos intervalos tanto estrictamente crecientes/decrecientes que se repiten periódicamente en el espacio.
a) $x\in (-\infty,0): \ \mbox{estrictamente decreciente}$; $x\in(0,\infty): \ \mbox{estrictamente creciente}$
b) Estrictamente crecientes $y' > 0: \ \Big(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{7\pi}{2},\dfrac{9\pi}{2}\Big),\ldots$
Estrictamente decrecientes $y' < 0: \ \Big(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{9\pi}{2},\dfrac{11\pi}{2}\Big),\ldots$