Intervalos de crecimiento y decrecimiento

La idea de crecimiento o decrecimiento lleva de la mano la idea de intervalo o entorno. Una función tendrá trozos, tramos o intervalos crecientes y/o decrecientes. Ahora vamos a hacer un estudio de dichos intervalos mediante el uso de las derivadas.

Sea nuestra función:

$$f(x)=x^2-4x+1$$

Queremos estudiar esta función, evaluando cuando ésta es creciente o decreciente, y para ello debemos determinar sus intervalos y estudiar sus derivadas. Para tal propósito es útil seguir los siguientes pasos:

1.- En primer lugar se calcula la derivada de $f(x)$

$$f'(x)=2x-4$$

2.- Se obtienen las raíces de la derivada.

Para ello, se impone $f'(x)=0$

$$f'(x)=2x-4=0 \Longrightarrow x=2$$

La raíz es $x=2$.

3.- Se establecen intervalos abiertos con las raíces encontradas y las posibles discontinuidades de la función:

En este caso, los dos intervalos (no hay discontinuidades en $f (x)$) serán: $(-\infty, 2) \cup (2,\infty)$ (Donde el símbolo utilizado se lee 'unión'.)

4.- Se elige un valor para cada intervalo y se calcula el signo de la derivada. Véase que elegir un valor en el primer intervalo implica elegir un número cualquiera entre $-\infty$ y $2$:

$f'(1)=2 \cdot 1-4=-2 < 0 $, Decrecimiento

Para el segundo intervalo podemos elegir, por ejemplo, el $10$

$f'(1)=2 \cdot 10 -4=16 >0$, Crecimiento

Es decir, ya se pueden establecer los intervalos crecientes y decrecientes:

$(-\infty , 2)$ Decrecimiento

$(2,\infty)$ Crecimiento

Sea ahora la función, $\displaystyle f(x)=\frac{x^4}{(x-2)^2}$

Se estudian sus intervalos.

Se calcula la derivada,

$$\displaystyle f'(x)=\frac{4x^3(x-2)^2-x^4\cdot 2(x-2)}{(x-2)^4}=\frac{2x^3(x-4)}{(x-2)^3}$$

Se calculan las raíces de la derivada, $f '(x) =0$

$$f'(x)=0 \Rightarrow \displaystyle \frac{2x^3(x-4)}{(x-2)^3}=0 \Rightarrow x=0 \mbox{ ó } x=4$$

Se construyen los intervalos a partir de las raíces y las discontinuidades (en este caso hay discontinuidad en $x=2$).

Los intervalos quedan pues, $(-\infty, 0) \cup (0,2) \cup (2,4) \cup (4,\infty)$. La función se separa en cuatro intervalos.

Se eligen valores cualesquiera para cada uno de los intervalos y se calcula el valor de la derivada en esos puntos.

Intervalo 1: $\displaystyle f'(-1)=-\frac{10}{27} < 0 \Rightarrow $ Decreciente

Intervalo 2: $f'(1)=6 > 0 \Rightarrow$ Creciente

Intervalo 3: $f'(3)=-54 < 0 \Rightarrow$ Decreciente

Intervalo 4: $\displaystyle f'(5)=\frac{250}{27}>0 \Rightarrow$ Creciente

En resumen, pues,

$$\begin{array}{l} (-\infty, 0) \mbox{ Decreciente }\\ (0,2) \mbox{ Creciente }\\ (2,4) \mbox{ Decreciente } \\ (4, \infty) \mbox{ Creciente } \end{array}$$