Intervals de creixement i decreixement

Ambdós casos es buscaran aquests intervals de dues maneres. La primera, més intuïtiva, serà a partir del gràfic de la funció. La segona, més analítica, es farà a partir del càlcul de la derivada.

a) Vegeu el gràfic de la funció

Intervals de creixement: $$x\in (-\infty,0) \ \mbox{Estrictament decreixent}$$ $$x\in(0,\infty) \ \mbox{Estrictament creixent}$$

Si un calcula la derivada: $y'=2x$

Per tant, per als punts $x < 0$ la derivada és estrictament negativa, la qual cosa implica que la funció és estrictament decreixent.

Per als punts $x > 0$ la derivada és estrictament positiva, és a dir que aquest interval la funció és estrictament creixent.

b) Vegeu primer el gràfic

Intuïtivament es veu que hi ha intervals creixent i intervals decreixents que es repeteixen periòdicament. Necessitem les eines analítiques per definir amb exactitud aquests intervals.

Si un calcula la derivada: $y'=cos(x)$.

Intervals amb $y' > 0: \ \Big(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{7\pi}{2},\dfrac{9\pi}{2}\Big),\ldots$

Intervals amb $y' < 0: \ \Big(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{9\pi}{2},\dfrac{11\pi}{2}\Big),\ldots$

En realitat ja hi ha infinits intervals tant estrictament creixents / decreixents que es repeteixen periòdicament en l'espai.