Teorema del valor intermedio (Propiedad de Darboux)

Sea una función $f(x)$ continua definida en un intervalo $[a,b]$ y $k$ un número comprendido entre los valores $f(a)$ y $f(b)$ (es decir $f(a) \leq k \leq f(b) $).

Entonces existe algún valor $c$ en el intervalo $[a,b]$ tal que $f(c)=k$.

Esta propiedad es muy parecida al teorema de Bolzano. De hecho se puede deducir muy fácilmente a partir de éste:

Tomando la función $g(x)=f(x)-k$ se ve claramente que se cumplirá el teorema de Bolzano:

Como $f(a)\leq k \leq f(b) \Rightarrow f(a)-k \leq 0 \leq f(b)-k \Rightarrow g(a) \leq 0 \leq g(b) \Rightarrow$

$\Rightarrow g(a) \cdot g(b) \leq 0$, entonces por Bolzano existe un valor $c$ en el intervalo $[a,b]$ tal que $g(c)=0$.

Pero resulta que $0=g(c)=f(c)-k \Rightarrow f(c)=k$ y queda demostrada la propiedad de Darboux.

Veamos algunos ejemplos de aplicación:

Vamos a buscar la existencia de una solución de la ecuación $(x-1)^3= 2$.

Definimos la función $f(x)=(x-1)^3$.

Tenemos que buscar un intervalo tal que en su imagen esté el valor $2$.

Tomemos, por ejemplo, el intervalo $[1,3]$.

El intervalo imagen es $f([1,3])=[f(1),f(3)]=[0,8]$ y claramente el $2$ pertenece a éste.

Por lo tanto, podemos asegurar la existencia de al menos una solución de la ecuación $(x-1)^3=2$ en el intervalo $[0,8]$.

Buscaremos si existen soluciones de la ecuación $3=e^x+2x$.

Definimos la función $f(x)=e^x+2x$.

Tenemos que buscar un intervalo tal que la imagen de éste contenga el valor $3$.

Por ejemplo, vamos a evaluar la función en: $$\begin{array} {rcl} f(0) & = & 1 \\ f(1) & = & e+2 >3 \end{array}$$

Además, la función exponencial es creciente y la función $f (x) =2x$, también por lo tanto, nuestra función es creciente y consecuentemente la imagen de $[0,1]$ contiene el $3$.

Por lo tanto, usando la propiedad, podemos asegurar que existe al menos una solución de nuestra ecuación en el intervalo $[0,1]$.