Continuidad de una función en un punto

Funciones hay de muchos tipos y formas: funciones periódicas, definidas a trozos, crecientes, decrecientes, cóncavas, convexas, ... Pero entre todas ellas, las podemos clasificar en dos conjuntos más elementales: funciones continuas y funciones no continuas.

Vulgarmente se dice que una función es continua si es posible dibujarla sin tener necesidad de levantar el lápiz del papel y por lo tanto, dibujarla con un solo trazado.

Matemáticamente la definición es un poco más elaborada.

Consideremos una función $f(x)$. Diremos que es continua en el punto $x=a$ si se cumple que los límites laterales de $f(x)$ en $x=a$ coinciden con el valor de la función en $x=a$: $$\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=\lim_{x \to a^-}f(x)= f(a)$$ En la siguiente gráfica observamos una función continua.

y podemos ver que los límites laterales coincidirán con el valor de la función en el punto $x1$, $f (x1) = y1$.

Veamos algunos ejemplos:

Tomamos la función $f(x) = e^{-x^2}$ y miremos la continuidad de la función en el punto $x=0$: $$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+} e^{-x^2}= e^0= 1 \\ \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^-} e^{-x^2}= e^0= 1\end{array}$$ y como los límites coinciden con el valor de la función en el cero: $f(0)=e^0=1$, entonces la función es continua en el cero.

Para ver un ejemplo de función no continua en un punto, tomemos la función $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x & \mbox{ si } & x \neq 2 \\ 0 & \mbox{ si } & x = 2\end{array}\right.$ , y miremos la continuidad en $x$=2. Entonces observamos que: $$\displaystyle \begin{array}{l} \lim_{x \to 2^+}f(x) = \lim_{x \to 2^+} x =2 \\ \lim_{x \to 2^-}f(x)=\lim_{x \to 2^-}x=2 \end{array} $$ y si evaluamos la función en $x=2$ tenemos que $f(2)=0$, por lo que la función no es continua en el punto $x=2$.