Ecuación de la elipse con focos sobre el eje OX

A partir de la definición de elipse llegaremos a su expresión analítica. Se tiene que es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Supondremos que en este caso los focos $F$ y $F'$ están sobre el eje $OX$, de forma que vienen definidos por $F'=(-c,0)$ y $F=(c,0)$ y por lo tanto la elipse está centrada en el origen.

Así, por la definición de elipse escribiremos que cualquier punto $P$ de la elipse cumple: $$\displaystyle \overline{PF}+\overline{PF'}=2a$$ donde $a$ corresponde a una constante que podemos determinar como $a^2=b^2+c^2$.

Veámoslo en el siguiente dibujo:

Desarrollemos ahora $$\displaystyle \overline{PF}+\overline{PF'}=2a$$ que equivale a la expresión: $$\displaystyle \sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$ Así pues primero pasamos la segunda raíz al otro lado de la igualdad: $$\displaystyle \sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}$$

Elevamos ambos lados al cuadrado: $$\Big( \sqrt{(x-c)^2+y^2} \Big)^2=\Big( 2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2} \Big)^2$$ $$ (x-c)^2+y^2=4a^2-2 \cdot 2a \cdot \sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2$$ $$x^2-2\cdot x \cdot c+c^2+y^2=4a^2-2 \cdot 2a\cdot \sqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2xc+c^2+y^2$$

Ahora aislamos en un lado de la ecuación la raíz que nos queda, tenemos: $$4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2 +4xc$$ $$\displaystyle a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\frac{4a^2+4xc}{4}=a^2+cx$$

Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad: $$\Big(a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\Big)^2=(a^2+cx)^2 $$ $$ a^2((x+c)^2+y^2)= a^4+2a^2cx+c^2x^2$$ $$a^2(x^2+2cx+c^2+y^2)=a^4+2a^2cx+c^2x^2 $$ $$ a^2x^2+2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2=a^4+2a^2cx+c^2x^2$$

Recordando que existe la relación $a^2=b^2+c^2$, tenemos: $$(a^2-c^2)x^2+a^2c^2+a^2y^2=a^4$$ $$b^2x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2=a^2(a^2-c^2)=a^2b^2 $$

Ahora dividimos ambos lados de la expresión por el factor $a^2b^2$ y resulta: $$\displaystyle \frac{b^2x^2+a^2y^2}{a^2b^2}=\frac{a^2b^2}{a^2b^2} $$ $$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$ Esta última expresión es la ecuación de la elipse que queríamos encontrar.

Tenemos la expresión $$\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$$ Esto corresponde a una elipse centrada en el origen de la cual calculamos los semiejes de la siguiente forma: $$a^2=25 \Rightarrow a=\sqrt{25}=5$$ $$b^2=4 \Rightarrow b=\sqrt{4}=2$$

¿Cuanto valen los semiejes de la elipse $\displaystyle \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{8}=1$?

Igualando los denominadores a los cuadrados de dichas longitudes obtenemos: $$a=\sqrt{3} \\ b=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

Ahora vamos a trabajar un poco con esta ecuación.

Vamos a hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: $F' (-3,0)$ y $F (3, 0)$, y tal que su eje mayor mide $10$.

Dado que el eje mayor mide $10$ sabemos que el semieje mayor será la mitad.

Así obtenemos: $2a=10 \Rightarrow a=5$.

Dado que sabemos que los focos son los puntos $F' (-3,0)$ y $F (3, 0)$, la distancia entre ellos es $6$.

Por lo tanto: $2c=6 \Rightarrow c=3$.

Dado que conocemos la relación $a^2=b^2+c^2$, aislando la $b$ de dicha ecuación obtenemos: $$b^2=5^2-3^2=25-9=16 \Rightarrow b=4$$

Ahora pues, dado que ya conocemos los semiejes mayor y menor, cogemos la ecuación de la elipse y le sustituimos los valores, obteniendo así la ecuación de ésta elipse. $$\displaystyle \frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$$ Por último, podemos calcular la excentricidad que es $$\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$$