Ecuación de la elipse con centro (x0, y0) y focos paralelos al eje y
Halla la ecuación de la elipse conociendo:
a) Centrada en el origen con foco $(2, 0)$ y con semieje mayor midiendo $3$.
b) Centrada en el $(1,-1)$ con foco $(1, 2)$ y semieje menor $4$.
a) Para este caso dado que está centrada en el cero y el foco está en el eje $OX$ empleamos la primera ecuación de la elipse.
Se tiene que por tener semieje mayor $3$ la ecuación es: $$\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \Rightarrow \text{ como } c=2 \text{ se obtiene } \ b^2=3^2-2^2=5 \Rightarrow b=\sqrt{5}$$
La ecuación quedará: $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$.
b) Para este caso, dado que no está centrada en el cero y que tiene el foco en el eje que es paralelo al $OY$ se trabaja con la fórmula IV. Se sabe $b=4$ y $c=3$ por lo tanto encontrando $a$: $a=\sqrt{16+9}=5$. Así la ecuación queda: $$\dfrac{(y+1)^2}{25}+\dfrac{(x-1)^2}{16}=1$$
a) La ecuación es: $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$
b) La ecuación es: $\dfrac{(y+1)^2}{25}+\dfrac{(x-1)^2}{16}=1$