Ecuación de la elipse con centro (x0, y0) y focos paralelos al eje y

Este caso se diferencia únicamente de la Ecuación III de la elipse en que el eje mayor es paralelo al eje $OY$. La ecuación sólo queda modificada en que $x$ e $y$ se intercambian los papeles, por lo tanto, tendrán los coeficientes del denominador cambiados.

Veamos la demostración:

El eje focal es ahora paralelo al eje de las ordenadas, y por lo tanto los focos están en los puntos $F'(x_0,y_0-c)$ y $F(x_0,y_0+c)$.

Aplicando ahora la definición general obtenemos $$\displaystyle \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0+c)^2}+\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}=2a$$

Tal y como se hizo para la elipse horizontal, se suma la raíz, y elevamos los dos lados de la ecuación al cuadrado: $$\displaystyle \Big(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0+c)^2}\Big)^2=\Big(2a-\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}\Big)^2$$ $$(x-x_0)^2+(y-y_0+c)^2=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}+(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2$$ $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+2(y-y_0)c+c^2= 4a^2-4a \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}+$$ $$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-2(y-y_0)c+c^2$$

Al simplificar y dividiendo por cuatro en los dos lados obtenemos: $$4(y-y_0)c=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}$$ $$(y-y_0)c=a^2-a \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}$$

Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado: $$(c(y-y_0)-a^2)^2= \Big(-a \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}\Big)^2$$ $$c^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^4= a^2((x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2)$$ $$c^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^4=a^2((x-x_0)^2+(y-y_0)^2-2c(y-y_0)+c^2)$$ $$c^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^4=a^2(x-x_0)^2+a^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^2c^2$$ $$c^2(y-y_0)^2-a^2(y-y_0)^2-a^2(x-x_0)^2= a^2 c^2-a^4$$ $$(c^2-a^2)(y-y_0)^2-a^2(x-x_0)^2=a^2(c^2-a^2)$$

Dividir entonces entre $a^2(c^2-a^2)$ para obtener un 1 a la derecha: $$\displaystyle \frac{(c^2-a^2)(y-y_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2(x-x_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}=1$$ $$\frac{(y-y_0)^2}{a^2}-\frac{(x-x_0)^2}{(c^2-a^2)}=1 $$

Al aplicar la definición $a^2= b^2+c^2$, $-b^2=c^2-a^2$ se sustituye y se llega a la ecuación deseada para la elipse vertical: $$\displaystyle \frac{(y-y_0)^2}{a^2}- \frac{(x-x_0)^2}{-b^2}= 1 \Longrightarrow \frac{(y-y_0)^2}{a^2}+\frac{(x-x_0)^2}{b^2}=1 $$.

Determinar la ecuación de una elipse con centro en el punto $(1,-1)$ y con un foco en el punto $(1,2)$. Además se sabe que pasa por el punto $(1,4)$.

Primero debemos pensar en qué eje están los focos de la elipse. Como el centro es $(1,-1)$ y un foco está en el $(1,2)$, nos damos cuenta que la primera componente se mantiene en el 1, es decir la recta que une el centro con tal foco es la recta $x=1$.

Así pues ya sabemos que los focos están sobre una recta paralela al eje de ordenadas $OY$. Si la elipse pasa por el punto $(1,4)$, la distancia de tal punto (que también es de la recta $x=1$ y por lo tanto del eje mayor) al centro es la diferencia de sus componentes $y$.

Es decir: $a=4-(-1)=5$.

De la misma manera se razona que el valor de $c$ que es la distancia del foco al centro es la resta de sus segundas componentes, es decir: $c=2-(-1)=3$.

Como ya tenemos los valores de $a$ y $c$, mediante la relación $a^2=b^2+c^2$, obtenemos: $b=\sqrt{25-9}=4$.

Sustituyendo en la ecuación: $$\displaystyle \frac{(y-y_0)^2}{a^2}+\frac{(x-x_0)^2}{b^2}=1 \Longrightarrow \frac{(y+1)^2}{5^2}+\frac{(x-1)^2}{4^2}=1$$