Parametrización de superficies

Ahora en el caso de que queremos expresar una superficie en el espacio, la daremos en forma de una función de dos variables: $\varphi: U=[a,b]\times[c,d]\subseteq \mathbb{R}^{2} \longrightarrow S \subset \mathbb{R}^{3}$, de forma que a cada par de coordenadas (llamémoslas $u$, $v$) les corresponde un único punto de la superficie $S$, y viceversa.

Una parametrización de una esfera de radio $R$ es $$\begin{array}{ccc} {\varphi : \big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big] \times [0,2\pi]} & {\longrightarrow} & {\mathbb{R}^{3}} \\ {[ \theta, \alpha] }&{ \longrightarrow} & {R \cdot ( \cos \theta \cdot \cos \alpha , \cos \theta \cdot \sin \alpha , \sin \theta )} \end{array} $$

Una parametrización de un elipsoide de semiejes $a$, $b$ y $c$ es $$\begin{array} {ccc} {\gamma: \big[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big] \times [0,2\pi]} & {\longrightarrow} & {\mathbb {R} ^{3}} \\ {[\theta, \alpha]} & {\longrightarrow} & {R\cdot(a \cdot \cos \theta \cdot \cos \alpha, b \cdot \cos \theta \cdot \sin \alpha,c \cdot \sin \theta)} \end{array}$$

Una parametrización de la gráfica de una función de dos variables $f(u,v)$ $$\begin{array} {ccc}{ \gamma: [a,b]\times[c,d]} & {\longrightarrow} & {\mathbb {R} ^{3}} \\ {[u,v]} & {\longrightarrow} & {(u,v,f(u,v))} \end{array}$$

Una parametrización de la superficie resultante de hacer girar la gráfica de la función $f(x)$ sobre el eje de las $z$. $$\begin{array} {ccc} {\gamma: [a,b] \times [0,2\pi]} & {\longrightarrow} & {\mathbb {R} ^{3}} \\ {[x, \theta]} & {\longrightarrow} & {(x\cdot \cos \theta, x \cdot \sin \theta,f(x))} \end{array}$$