Vectors linealment independents i dependents

Els vectors $\vec{u}=(0,2)$, $\vec{v}=(1,1)$ són linealment independents perquè no tenen la mateixa direcció, les seves coordenades no són proporcionals: $$\dfrac{2}{1}\neq\dfrac{0}{-2}$$ Una altra manera de comprovar que són linealment independents és veient que qualsevol combinació lineal d'aquests vectors igualada a zero implica que els escalars de la combinació lineal són nuls: $$\lambda(2,0)+\mu(1,-2)=(2\lambda+\mu,-2\mu)=(0,0)$$ $$\left. \begin{array}{r} 2\lambda+\mu=0 \\ -2\mu=0 \end{array} \right\} \Rightarrow \mu=0, \ \lambda=0$$

Els vectors $\vec{u}=(2,-2)$, $\vec{v}=(1,-1)$ són linealment dependents perquè les seves coordenades són proporcionals: $$2=\dfrac{2}{1}=\dfrac{-2}{-1}=2$$

Veiem que en aquest cas els vectors $\vec{u}=(1,-3)$, $\vec{v}=(-3,9)$ són linealment dependents, ja que: $$\dfrac{1}{-3}=\dfrac{-3}{9} \Rightarrow -\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}$$ Una altra manera de veure que són linealment dependents és trobant escalars diferents de zero tals que es compleixi $a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{0}$, és a dir: $$a(1,-3)+b(-3,9)=(a,-3a)+(-3b,9b)=(a-3b,-3a+9b)=(0,0)$$ $$\left. \begin{array}{r} a-3b=0 \\ -3a+9b=0 \end{array} \right\} \Rightarrow a=3b \Rightarrow -3(3b)+9b=0 \Rightarrow -9b+9b=0$$ de manera que la segona equació no ens aporta informació, així doncs només s'ha de complir $a = 3b$, per exemple $a = 3$, $b = 1$ seria una solució del nostre sistema.