Vectores linealmente independientes y dependientes

Los vectores $\vec{u}=(0,2)$, $\vec{v}=(1,1)$ son linealmente independientes porque no tienen la misma dirección, sus coordenadas no son proporcionales: $$\dfrac{2}{1}\neq\dfrac{0}{-2}$$ Otra manera de comprobar que son linealmente independientes es viendo que cualquier combinación lineal de estos vectores igualada a cero implica que los escalares de la combinación lineal son nulos: $$\lambda(2,0)+\mu(1,-2)=(2\lambda+\mu,-2\mu)=(0,0)$$ $$\left. \begin{array}{r} 2\lambda+\mu=0 \\ -2\mu=0 \end{array} \right\} \Rightarrow \mu=0, \ \lambda=0$$

Los vectores $\vec{u}=(2,-2)$, $\vec{v}=(1,-1)$ son linealmente dependientes porque sus coordenadas son proporcionales: $$2=\dfrac{2}{1}=\dfrac{-2}{-1}=2$$

Vemos que en este caso los vectores $\vec{u}=(1,-3)$, $\vec{v}=(-3,9)$ son linealmente dependientes, dado que: $$\dfrac{1}{-3}=\dfrac{-3}{9} \Rightarrow -\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}$$ Otra forma de ver que son linealmente dependientes es encontrando escalares diferentes de cero tales que se cumpla $a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{0}$, es decir: $$a(1,-3)+b(-3,9)=(a,-3a)+(-3b,9b)=(a-3b,-3a+9b)=(0,0)$$ $$\left. \begin{array}{r} a-3b=0 \\ -3a+9b=0 \end{array} \right\} \Rightarrow a=3b \Rightarrow -3(3b)+9b=0 \Rightarrow -9b+9b=0$$ de manera que la segunda ecuación no nos aporta información, así pues sólo se tiene que cumplir $a = 3b$, por ejemplo $a = 3$, $b = 1$ ería una solución de nuestro sistema.