Combinació lineal entre vectors

Donats dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ denotem combinació lineal de $\vec{u}$ i $\vec{v}$ a qualsevol expressió de la forma: $\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$ on $\lambda$ i $\mu$ són nombres reals.

Un vector $\vec{w}$ és combinació lineal de $\vec{u}$ i $\vec{v}$ si existeixen nombres reals (escalars) $\lambda$ i $\mu$ que permeten expressar $\vec{w}$ de la forma: $\vec{w}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$.

Els vectors amb els que hem tractat fins ara són vectors en el pla, és a dir, tenen dos components. En aquest cas podem expressar qualsevol vector $\vec{w}$ com una combinació lineal de dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ no paral·lels. Aquesta combinació és única.

El vector $\vec{w}=(-1,3)$ es pot expressar com a combianció lineal de $\vec{u}=(1,2)$ i $\vec{v}=(0,3)$?

Volem trobar $\lambda$ i $\mu$ de manera que $\vec{w}= \lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$. Tenim: $$ (-1,3)=\lambda(1,2)+\mu(0,3)= (\lambda,2\lambda)+(0,3\mu)= (\lambda, 2\lambda+3\mu)$$

De manera que: $$\left. \begin{array}{rcl} -1&=&\lambda \\ 3&=&2\lambda+3\mu \end{array} \right\} \Rightarrow \lambda=-1, \ \mu=\dfrac{5}{3}$$

Acabem de trobar uns valors per $\lambda$ i $\mu$ per als quals es compleix $\vec{w}= \lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$. Així doncs, sí que podem expressar $\vec{w}=(-1,3)$ com una combinació lineal de $\vec{u}=(1,2)$ i $\vec{v}=(0,3)$.