Combinación lineal entre vectores

Dados dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ denotamos combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ a cualquier expresión de la forma: $\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$ donde $\lambda$ y $\mu$ son números reales.

Un vector $\vec{w}$ es combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ si existen números reales (escalares) $\lambda$ y $\mu$ que permitan expresar $\vec{w}$ de la forma: $\vec{w}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$.

Los vectores con los que hemos tratado hasta ahora son vectores en el plano, es decir, tienen dos componentes. En este caso podemos expresar cualquier vector $\vec{w}$ como combianción lineal de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no paralelos. Esta combinación es única.

¿El vector $\vec{w}=(-1,3)$ se puede expresar como combianción lineal de $\vec{u}=(1,2)$ y $\vec{v}=(0,3)$?

Queremos encontrar $\lambda$ y $\mu$ de manera que $\vec{w}= \lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$. Tenemos: $$ (-1,3)=\lambda(1,2)+\mu(0,3)= (\lambda,2\lambda)+(0,3\mu)= (\lambda, 2\lambda+3\mu)$$

De manera que: $$\left. \begin{array}{rcl} -1&=&\lambda \\ 3&=&2\lambda+3\mu \end{array} \right\} \Rightarrow \lambda=-1, \ \mu=\dfrac{5}{3}$$

Acabamos de encontrar unos valores para $\lambda$ y $\mu$ para los que se cumple $\vec{w}= \lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$. Así pues, sí que podemos expresar $\vec{w}=(-1,3)$ como combinación lineal de $\vec{u}=(1,2)$ y $\vec{v}=(0,3)$.