Resolució de triangles rectangles usant raons trigonomètriques

A continuació s'explicarà com trobar els costats i els angles d'un triangle rectangle si només es coneixen alguns d'ells.

En els següents dibuixos, els costats i angles de color vermell són els que no coneixem, mentre els que són negres sí.

Anem a distingir entre els següents casos, depenent dels elements del triangle que es coneixen:

• Es coneixen la hipotenusa i un catet: En aquest cas s'ha de trobar l'altre catet (el costat $c$) i els dos angles aguts (és a dir, $B$ i $C$).

  • L'angle $B$ és: $B=\arcsin\Big( \dfrac{b}{a} \Big)$
  • L'angle $C$ és: $C=90^\circ -B$
  • El costat $c$ és: $c=a\cdot \cos(B)$

• Es coneixen dos catets: En aquest cas s'ha de trobar els dos angles aguts ($B$ i $C$) i la hipotenusa (és a dir, el costat $a$).

  • L'angle $B$ és: $B=\arctan\Big( \dfrac{b}{c}\Big)$

  • L'angle $C$ és: $C=90^\circ - B$

  • La hipotenusa és: $a=\dfrac{b}{\sin(B)}$

    També es pot calcular mitjançant la igualtat: $a=\sqrt{b^2+c^2}$

• Es coneixen la hipotenusa i un angle agut: En aquest cas s'haurà de trobar l'altre angle agut (és a dir, $C$) i els dos catets (els costats $b$ i $c$).

  • L'angle $C$ és: $C=90^\circ -B$

  • El costat $b$ és: $b=a\cdot\sin(B)$

  • El costat $c$ és: $c=a\cos(B)$

    També es pot calcular fent: $c=\sqrt{a^2+b^2}$

• Es coneixen un catet i un angle agut: Aquí s'haurà de calcular l'altre angle agut (com abans, $C$), la hipotenusa (el costat $a$) i l'altre catet (el costat $c$).

  • L'angle $C$ és: $C=90^\circ -B$

  • El costat $a$ és: $a=\dfrac{b}{\sin(B)}$

  • El costat $c$ és: $c=\dfrac{b}{\tan(B)}$

    També: $c=\sqrt{a^2+b^2}$