Relacions trigonomètriques fonamentals
Donat el triangle rectangle $ABC$, considereu l'alçada del triangle respecte l'angle recte. Siguin $x$, $y$ els angles corresponents a la partició de l'angle mitjançant l'alçada, calculeu quant valen els següents valors: $\sin(2x)$, $\tan (x-y)$ i $\cos (2y)$.
Els angles $x$ i $y$ són complementaris. Per tant, sabem que $$\sin(x+y)= \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)=1$$
D'altra banda, si fem el dibuix de la figura observem que el triangle $ABC$ és la unió de dos triangles més petits $ABD$ i $ADC$. Així, doncs, tenint en compte que la suma de tots els angles d'un triangle ha de ser $180^\circ$, obtenim que:
- $180=90+30+x \Rightarrow x=180-90-30=60$
- $180=90+60+y \Rightarrow y=180-90-60=30$
Llavors, $$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)= 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\tan (x-y)= \dfrac{\tan(x)-\tan(y)}{1+\tan(x)\tan(y)}= \dfrac{\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}} {1+\sqrt{3}\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\cos(2y)=\cos^2(y)-\sin^2(y)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$$
$$\sin(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\tan (x-y)= \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\cos(2y)=\dfrac{1}{2}$$