Relaciones trigonométricas fundamentales
Dado el triángulo rectángulo $ABC$, considérese la altura del triángulo respecto el ángulo recto. Sean $x$, $y$ los ángulos correspondientes a la partición del ángulo mediante la altura, entonces calcular cuánto valen los siguientes valores: $\sin(2x)$, $\tan (x-y)$ y $\cos (2y)$.
Los ángulos $x$ y $y$ son complementarios. Por lo tanto, sabemos que $$\sin(x+y)= \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)=1$$
Por otro lado, si realizamos la figura observamos que el triangulo ABC $ABC$ es la unión de dos triángulos más pequeñosés $ABD$ y $ADC$. Así, pues, teniendo en cuenta que la suma de todos los ángulos de un triángulo tiene que ser $180^\circ$, obtenemos que:
- $180=90+30+x \Rightarrow x=180-90-30=60$
- $180=90+60+y \Rightarrow y=180-90-60=30$
Entonces, $$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)= 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\tan (x-y)= \dfrac{\tan(x)-\tan(y)}{1+\tan(x)\tan(y)}= \dfrac{\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}} {1+\sqrt{3}\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\cos(2y)=\cos^2(y)-\sin^2(y)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$$
$$\sin(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\tan (x-y)= \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\cos(2y)=\dfrac{1}{2}$$