Razones trigonométricas de otros ángulos

Ángulos suplementarios

Dos ángulos se llaman suplementarios si suman $180^\circ$.

$140^\circ$ y $40^\circ$ son ángulos suplementarios ya que: $$140^\circ+ 40^\circ=180^\circ $$

El seno, coseno y tangente de los ángulos suplementarios tienen cierta relación. Si $\alpha$ y $\beta$ son dos ángulos suplementarios entonces se tiene que:

• $\sin(\alpha)=\sin(\beta)$

• $\cos(\alpha)=-\cos(\beta)$

• $\tan(\alpha)=-\tan(\beta)$

Es decir, los senos son iguales, y el coseno y la tangente cambian de signo.

En el ejemplo anterior, pues, se tiene que:

• $\sin(40^\circ)=\sin(140^\circ)$

• $\cos(40^\circ)=-\cos(140^\circ)$

• $\tan(40^\circ)=-\tan(140^\circ)$

Ángulos que se diferencian en $180^\circ$

Dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ se diferencian en $180^\circ$ si $\alpha-\beta=180^\circ$.

$240^\circ$ y $60^\circ$ se diferencian en $180^\circ$, ya que: $$240^\circ-60^\circ=180^\circ$$

El seno, coseno y tangente de dos ángulos que se diferencian en $180^\circ$ también están relacionados. Si $\alpha$ y $\beta$ se diferencian en $180^\circ$, entonces:

• $\sin(\alpha)=-\sin(\beta)$

• $\cos(\alpha)=-\cos(\beta)$

• $\tan(\alpha)=\tan(\beta)$

Es decir, el seno y el coseno cambian de signo, pero la tangente es la misma en los dos ángulos.

En el ejemplo anterior:

• $\sin(240^\circ)=-\sin(60^\circ)$

• $\cos(240^\circ)=-\cos(60^\circ)$

• $\tan(240^\circ)=\tan(60^\circ)$

Ángulos opuestos

Dos ángulos se llaman opuestos si suman $360^\circ$. Es decir, $\alpha$ y $\beta$ son opuestos si $\alpha+\beta=360^\circ$.

$330^\circ$ y $30^\circ$ son opuestos, ya que $$330^\circ+30^\circ=360^\circ$$

Los senos, cosenos y tangentes de ángulos opuestos están relacionados de una forma similar de como se vio con los ángulos suplementarios o los que se diferencian en $180^\circ$. Así, si $\alpha$ y $\beta$ son ángulos opuestos se cumple siempre que:

• $\sin(\alpha)=-\sin(\beta)$

• $\cos(\alpha)=\cos(\beta)$

• $\tan(\alpha)=-\tan(\beta)$

Es decir, el seno y la tangente son el mismo pero con diferente signo, y el coseno es exactamente el mismo.

En el ejemplo anterior se tiene:

• $\sin(330^\circ)=-\sin(30^\circ)$

• $\cos(330^\circ)=\cos(30^\circ)$

• $\tan(330^\circ)=-\tan(30^\circ)$

Ángulos negativos

Un ángulo es negativo si va en dirección contraria a las agujas del reloj, y se simboliza con un menos delante.

Si se hace un ángulo de $30^\circ$, pero en vez de ir hacia arriba se va hacia abajo, se dice que el ángulo es de $-30^\circ$.

La siguiente ilustración muestra el ángulo negativo $-30^\circ$:

Si $\alpha$ es un ángulo, entonces se tienen las siguientes igualdades:

• $\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$

• $\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$

• $\tan(-\alpha)=-\tan(\alpha)$

En resumen, el seno y la tangente de $\alpha$ y $-\alpha$ son el mismo pero con diferente signo, y el coseno es exactamente el mismo.

En el ejemplo anterior se tiene:

• $\sin(-30^\circ)=-\sin(30^\circ)$

• $\cos(-30^\circ)=\cos(30^\circ)$

• $\tan(-30^\circ)=-\tan(30^\circ)$

Ángulos mayores de $360^\circ$

Para calcular el seno, el coseno y la tangente de ángulos mayores de $360^\circ$, se siguen los siguientes pasos:

1. Se hace la división entera del ángulo entre $360$. Por ejemplo, si el ángulo es $780^\circ$, se hace:

2. Se coge el residuo. En el ejemplo anterior es $60^\circ$.

3. El seno, el coseno y la tangente del ángulo son el del residuo que se ha obtenido.

Volviendo al ejemplo anterior, se tiene:

• $\sin(780^\circ)=\sin(660^\circ)$

• $\cos(780^\circ)=\cos(60^\circ)$

• $\tan(780^\circ)=\tan(60^\circ)$

Ángulos que se diferencian en $90^\circ$

Dos ángulos se diferencian en $90^\circ$ si el resultado de restarlos es $90^\circ$.

Por ejemplo $160^\circ$ y $70^\circ$, ya que: $160^\circ- 70^\circ= 90^\circ$. La siguiente ilustración lo muestra más claramente:

Las razones que satisfacen dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ si se diferencian en $90^\circ$ (es decir, si $\alpha-\beta=90^\circ$) son:

• $\sin(\alpha)=\cos(\beta)$

• $\cos(\alpha)=-\sin(\beta)$

• $\tan(\alpha)=-\cot(\beta)$

En el ejemplo anterior se tiene:

• $\sin(160^\circ)=\cos(70^\circ)$

• $\cos(160^\circ)=-\sin(70^\circ)$

• $\tan(160^\circ)=-\cot(70^\circ)$

Ángulos que suman $270^\circ$:

Dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ suman $270^\circ$ si $\alpha+\beta=270^\circ$.

Por ejemplo $70^\circ$ y $200^\circ$, ya que $70^\circ + 200^\circ=270^\circ$.

En este caso, $\alpha$ y $\beta$ satisfacen las siguientes igualdades:

• $\sin(\alpha)=-\cos(\beta)$

• $\cos(\alpha)=-\sin(\beta)$

• $\tan(\alpha)=\cot(\beta)$

En el ejemplo anterior, se tiene que:

• $\sin(70^\circ)=-\cos(200^\circ)$

• $\cos(70^\circ)=-\sin(200^\circ)$

• $\tan(70^\circ)=\cot(200^\circ)$

Ángulos que se diferencian en $270^\circ$:

Dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ se diferencian en $270^\circ$ si al restarlos se obtiene exactamente $270^\circ$: $\alpha-\beta= 270^\circ$.

Un ejemplo serían los ángulos $320^\circ$ y $50^\circ$, ya que $320^\circ-50^\circ=270^\circ$.

Cuando dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ se diferencian en $270^\circ$ se cumple que:

• $\sin(\alpha)=-\cos(\beta)$

• $\cos(\alpha)=\sin(\beta)$

• $\tan(\alpha)=-\cot(\beta)$

Si lo calculamos para los ángulos $320^\circ$ y $50^\circ$, tenemos que:

• $\sin(320^\circ)=-\cos(50^\circ)$

• $\cos(320^\circ)=\sin(50^\circ)$

• $\tan(320^\circ)=-\cot(50^\circ)$